Problema su una serie asintotica
ciao a tutti, ho un problema sulle serie...
ho questo esercizio da risolvere
$ sum sqrt(n^(2) + 2) / n -1 $
il risultato che cè scritto è asintotico a
$ 1/n^2 $
il problema è che non riesco a risolverlo... perkè se provo con gli asintoci si elimina la n,
ma nello stesso tempo se prendo una n per esempio 1 e la sostituisco nella serie,
noto che il risultato è minore di $ 1/n^2 $ , quindi se la serie maggiorante è convergente anche la minorante lo è...
sapreste scrivermi i passaggi per arrivare alla soluzione asintotica?
grazie mille
ho questo esercizio da risolvere
$ sum sqrt(n^(2) + 2) / n -1 $
il risultato che cè scritto è asintotico a
$ 1/n^2 $
il problema è che non riesco a risolverlo... perkè se provo con gli asintoci si elimina la n,
ma nello stesso tempo se prendo una n per esempio 1 e la sostituisco nella serie,
noto che il risultato è minore di $ 1/n^2 $ , quindi se la serie maggiorante è convergente anche la minorante lo è...
sapreste scrivermi i passaggi per arrivare alla soluzione asintotica?
grazie mille
Risposte
anzi, provando con le serie di taylor arriva a 1/n, non a 1/n^2 ....
Non so se sia corretto ma ho fatto il seguente ragionamento:
Intanto il termine generale può essere scritto come:
$\frac{2}{n^{2}+n\sqrt {n^{2}+2}}$
noto che:
$\lim \frac{\sqrt {n^{2}+2}}{n}=1$ ciò vuol dire che $\sqrt {n^{2}+2}\sim n$ ;
Allora andando a sostituire $n$ al posto di $\sqrt {n^{2}+2}$ si ha:
$\frac{2}{n^{2}+n^2}=\frac{1}{n^2}$
Intanto il termine generale può essere scritto come:
$\frac{2}{n^{2}+n\sqrt {n^{2}+2}}$
noto che:
$\lim \frac{\sqrt {n^{2}+2}}{n}=1$ ciò vuol dire che $\sqrt {n^{2}+2}\sim n$ ;
Allora andando a sostituire $n$ al posto di $\sqrt {n^{2}+2}$ si ha:
$\frac{2}{n^{2}+n^2}=\frac{1}{n^2}$
intanto grazie mille...
ma come hai fatto a passare dalla mia serie al tuo termine generale?
non è molto intuitivo per me...
ma come hai fatto a passare dalla mia serie al tuo termine generale?
non è molto intuitivo per me...
avevo sbagliato i conti prima...
con taylor viene...
però preferisco saper svolgere le serie semza applicarlo..
magari con il tuo metodo....
grazie
con taylor viene...
però preferisco saper svolgere le serie semza applicarlo..
magari con il tuo metodo....
grazie
anzi, sono riuscito a capire anche il tuo metodo..
con la razionalizzazione...
grazie mille...
sono a posto
con la razionalizzazione...
grazie mille...
sono a posto
Ehm si scusa mi sono scordato i passaggi... allora...
$\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}-1=\frac{sqrt{n^2+2}-n}{n}$ moltiplicando dividendo per $\sqrt{n^2+2}+n$ otteniamo proprio
$\frac{2}{n^{2}+n\sqrt {n^{2}+2}}$
$\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}-1=\frac{sqrt{n^2+2}-n}{n}$ moltiplicando dividendo per $\sqrt{n^2+2}+n$ otteniamo proprio
$\frac{2}{n^{2}+n\sqrt {n^{2}+2}}$
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