Problema su una divergenza

[marta_l-votailprof]

Buongiorno a tutti!

non resco a capire che tipo di oggetto viene fuori da questa divergenza:

$\nabla \cdot (\vec b u)$

dove $\vec b$ è un vettore di dimensione 2 dipendente da $(x,y)$ e $u=u(x,y)$ è una funzione $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Secondo i miei appunti dovrebbe essere una derivata direzionale della funzione $u$ lungo la direzione $\vec b$ e dovrebbe essere poter scritto come

$\vec b \cdot \nabla u$

cioè il prodotto scalare tra il vettore $\vec b$ e il gradiente di $u$. Non mi torna.

Grazie in anticipo!
buona giornata!

[dissonance]

Ma $\vec{b}$ è costante?

[marta_l-votailprof]

no, $\vec b=(b_1(x,y),b_2(x,y))$

[dissonance]

E allora è falso. Esempio: $\vec{b}=x \vec{i} + y \vec{j}$, $u=1$. Se fosse vera la tua formula avremmo che $\nabla \cdot (u\vec{b})=\nabla u * \vec{b}=0$([edit: c'era un \vec di troppo]), che è sbagliato, essendo $\nabla * \vec{b}=2$.

[dissonance]

Invece se $\vec{b}$ è costante è vero. Lo dimostro in $RR^2$: siano $\vec{b}=b_x\vec{i} +b_y \vec{j}$, con $b_x, b_y$ costanti, $u=u(x, y)$ funzione $RR^2 \to RR$ differenziabile. Allora $u\vec{b} = b_x u \vec{i} + b_y u \vec{j}$ e $\nabla * u\vec{b} = \frac{\del b_x u}{\del x} + \frac{\del b_y u}{\del y}=b_x\frac{\del u}{\del x}+b_y\frac{\del u}{\del y}=\vec{b} * \nabla u$.

[marta_l-votailprof]

ok, adesso ho capito almeno con che cosa sto trattando. Ci ragiono un po' su perchè questo è solo un pezzettino dell'equazione a derivate parziali che sto trattando, forse c'è di mezzo il teorema della divergenza...comunque grazie