Problema su studio monotonia di una funzione
Salve!
Devo dimostrare che la funzione $ f(x)=sin(1/x) $ non é monotona in $ 0< x<= 1 $ ma lo é in in x $ x>=1 $
Il dominio della funzione é $ A=(-oo ,0)U(0,+oo ) $ .
Come dovrei procedere?
Mi é venuta in mente una conseguenza del teorema di Lagrange:
data una $ f:I=>R $ e derivabile in $ (a,b)sub I $ , se $ f'(x)>0 $ (o viceversa) $ AA x in (a,b) $ , allora la f é strettamente crescente (decrescente) in $ I $ . Ma come faccio a dimostrare che non é monotona nell'intervallo? Illuminatemi!
Un'altra conseguenza le cui ipotesi sono analoghe invece dice che la f è strettamente crescente ( $ f'(x)>0 $ ) se l'insieme dei punti in cui la derivata si annulla é finito o numerabile. Sono un po' confuso!
Devo dimostrare che la funzione $ f(x)=sin(1/x) $ non é monotona in $ 0< x<= 1 $ ma lo é in in x $ x>=1 $
Il dominio della funzione é $ A=(-oo ,0)U(0,+oo ) $ .
Come dovrei procedere?
Mi é venuta in mente una conseguenza del teorema di Lagrange:
data una $ f:I=>R $ e derivabile in $ (a,b)sub I $ , se $ f'(x)>0 $ (o viceversa) $ AA x in (a,b) $ , allora la f é strettamente crescente (decrescente) in $ I $ . Ma come faccio a dimostrare che non é monotona nell'intervallo? Illuminatemi!
Un'altra conseguenza le cui ipotesi sono analoghe invece dice che la f è strettamente crescente ( $ f'(x)>0 $ ) se l'insieme dei punti in cui la derivata si annulla é finito o numerabile. Sono un po' confuso!
Risposte
Osserva che in ogni intorno di \(0\) la funzione \(f\) ha un'infinità numerabile di zeri (tutti isolati) e chiediti: può una funzione con tale proprietà essere monotona? 
Credo proprio di no! Algebricamente parlando come lo dimostro? 
Grazie per il suggerimento!
Grazie per il suggerimento!
Di zeri te ne bastano due consecutivi, tecnicamente. Se una funzione è nulla negli estremi di un intervallo chiuso $[a,b]$ e non nulla sui punti della parte interna, non può essere monotona. Preso $c\in(a,b)$, a meno di scambiare $f$ con $-f$ si può supporre $f(c)>0$. In tal caso, se $f$ è debolmente crescente si ha $f(b)\geq f(c)>0$ contravvenendo $f(b)=0$, mentre se $f$ è debolmente decrescente si ha $f(a)\geq f(c)>0$, contravvenendo $f(a)=0$.
Nel tuo caso, è sufficiente prendere $a$ come $\frac{1}{2\pi}$ e $b$ come $\frac{1}{\pi}$.
Per la seconda parte dell'esercizio, è sufficiente considerare che il seno è una funzione crescente sull'intervallo $[0,1]$, mentre $\frac{1}{x}$ è una funzione decrescente su $\mathbb{R}^+$. Per composizione, $\sin\frac{1}{x}$ è decrescente su $[1,+\infty)$ (ed anzi lo è su un insieme più grande, $[2/\pi,+\infty)$).
Nel tuo caso, è sufficiente prendere $a$ come $\frac{1}{2\pi}$ e $b$ come $\frac{1}{\pi}$.
Per la seconda parte dell'esercizio, è sufficiente considerare che il seno è una funzione crescente sull'intervallo $[0,1]$, mentre $\frac{1}{x}$ è una funzione decrescente su $\mathbb{R}^+$. Per composizione, $\sin\frac{1}{x}$ è decrescente su $[1,+\infty)$ (ed anzi lo è su un insieme più grande, $[2/\pi,+\infty)$).
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