Problema su massimi e minimi senza lagrange?
Ciao! Nel compito di oggi di analisi II il mio prof si è divertito a mettere un esercizio con sorpresa. Chiedeva di trovare i massimi e minimi assoluti per la funzione:
$ f(x,y) = -x^3 + 8(x-1)^2+y^2 $
nella restrizione
$ E = {(x,y) in RR^2 : 8(x-1)^2+y^2 = 1} $
io ho applicato il metodo del moltiplicatori di lagrange, però sono arrivato a soluzioni complesse. Cosa vuol dire? Sbaglio metodo?
$ f(x,y) = -x^3 + 8(x-1)^2+y^2 $
nella restrizione
$ E = {(x,y) in RR^2 : 8(x-1)^2+y^2 = 1} $
io ho applicato il metodo del moltiplicatori di lagrange, però sono arrivato a soluzioni complesse. Cosa vuol dire? Sbaglio metodo?
Risposte
Penso che potevi farlo anche senza i moltiplicatori di lagrange, potevi parametrizzare l'ellisse e studiare la funzione su quell'ellisse
scusa l'ignoranza ma questo è un metodo che proprio non conosco. Purtroppo sto dando l'esame non con il prof di cui ho seguito il corso e magari questa cosa non l'avevo fatta. Cosa vuol dire "studiare la funzione su quell'ellisse"?
"Mith89":
Ciao! Nel compito di oggi di analisi II il mio prof si è divertito a mettere un esercizio con sorpresa. Chiedeva di trovare i massimi e minimi assoluti per la funzione:
$ f(x,y) = -x^3 + 8(x-1)^2+y^2 $
nella restrizione
$ E = {(x,y) in RR^2 : 8(x-1)^2+y^2 = 1} $
io ho applicato il metodo del moltiplicatori di lagrange, però sono arrivato a soluzioni complesse. Cosa vuol dire? Sbaglio metodo?
Sul vincolo, la $f$ non è altro che $-x^3 + 1$... Questa è la vera sorpresa, è stato veramente buono.
Devi solo stare attento a trovare l'intervallo (delle "$x$") che ti riguarda.
Quanto alla domanda sui moltiplicatori di Lagrange:
- la tua funzione ha sicuramente max e min assoluto sul vincolo (grazie al sig. Weierstrass), quindi anche max e min locali, quindi punti critici
- le hp del teorema sui moltiplicatori di Lagrange sono soddisfatte
Ergo, DEVI trovare delle soluzioni. Almeno una coppia di punti critici ci sono. Probabilmente hai sbagliato calcoli.
Il METODO è applicabile, come detto. Ciò non toglie che non sia la strada migliore, come notato sopra.
Simpatico esercizio , un po' diverso dal solito 
de gustibus... probabilmente mi rovina un esame quindi non riesco ad apprezzarlo appieno! Tornando alla soluzione, non ho ancora capito del tutto come si dovrebbe fare. Come mi avete fatto notare sul vincolo la f vale $ f(x,y) = -x^3 +1 $, però a questo punto mi trovo di nuovo fermo... ho provato a derivare e porre uguale a zero ma tutto ciò che trovo è che $ x = 0$ come d'altronde ricavavo anche da lagrange. Come trovo le coordinate y??
"Mith89":
però a questo punto mi trovo di nuovo fermo... ho provato a derivare e porre uguale a zero ma tutto ciò che trovo è che $ x = 0$
"Fioravante Patrone":Alla tua domanda avevo già risposto.
Devi solo stare attento a trovare l'intervallo (delle "$x$") che ti riguarda.
Tu ricavi $x=0$ anche da Lagrange? Ma non trovavi dei numeri complessi?
"Mith89":
come d'altronde ricavavo anche da lagrange. Come trovo le coordinate y??
Comunque, anche a questa domanda avevo già risposto:
"Fioravante Patrone":
Ergo, DEVI trovare delle soluzioni. Almeno una coppia di punti critici ci sono. Probabilmente hai sbagliato calcoli.
Mi sa che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua. Ricapitolando:
1) da lagrange mi ricavo $ x = 0 $ e $ y^2 = -8 $ che ha ovviamente radici complesse (domanda: che significato grafico hanno?). Se c'è un modo per andare avanti da qui, non lo conosco.
2) Dalla tua osservazione si è visto che sul vincolo la f vale $ f(x,y)=-x^3+1 $. A questo punto mi dici che dovrei cercare "l'intervallo delle x" che mi riguarda, io immagino di dover fare lo studio di funzione della nuova f, perciò ne calcolo il gradiente e lo pongo uguale a zero per trovare i punti critici. Ottengo $ x = 0 $ e mi ritrovo al punto di partenza.
Quello che non capisco è da dove dovrei tirare fuori questo famoso intervallo delle x! E non ho nemmeno capito se x = 0 è effetivamente una coordinata di massimo e minimo oppure non c'entra niente.
Apprezzo che vogliate farmi arrivare da solo alla soluzione ed è un motivo per cui questo sito è davvero valido - ti fa ragionare - ma vi pregherei di darmi un aiutino in più, davvero non ci capisco niente!
1) da lagrange mi ricavo $ x = 0 $ e $ y^2 = -8 $ che ha ovviamente radici complesse (domanda: che significato grafico hanno?). Se c'è un modo per andare avanti da qui, non lo conosco.
2) Dalla tua osservazione si è visto che sul vincolo la f vale $ f(x,y)=-x^3+1 $. A questo punto mi dici che dovrei cercare "l'intervallo delle x" che mi riguarda, io immagino di dover fare lo studio di funzione della nuova f, perciò ne calcolo il gradiente e lo pongo uguale a zero per trovare i punti critici. Ottengo $ x = 0 $ e mi ritrovo al punto di partenza.
Quello che non capisco è da dove dovrei tirare fuori questo famoso intervallo delle x! E non ho nemmeno capito se x = 0 è effetivamente una coordinata di massimo e minimo oppure non c'entra niente.
Apprezzo che vogliate farmi arrivare da solo alla soluzione ed è un motivo per cui questo sito è davvero valido - ti fa ragionare - ma vi pregherei di darmi un aiutino in più, davvero non ci capisco niente!
ciao, il sistema di lagrange si può utilizzare..rifai i conti(oltre che x=0 hai anche y=0)per quanto riguarda l'intervallo delle x prova a disegnare la tua ellisse e la nuova funzione.
Direi che matematico91 ha già dato le indicazioni utili. Anche $y=0$ è soluzione della seconda equazione che trovi dai moltiplicatori di Lagrange. Basta proseguire da qui.
Anche per il consiglio di disegnare l'ellisse, concordo. Anche se basterebbe solo trovare il semiasse "delle $x$"., comunque un disegnino non fa mai male.
Quello che viene fuori è:
- il punto critico che hai trovato sta fuori dall'intervallo che va considerato
- quindi non c'è altra alternativa che considerare gli estremi dell'intervallo: max e min saranno lì.
Anche per il consiglio di disegnare l'ellisse, concordo. Anche se basterebbe solo trovare il semiasse "delle $x$"., comunque un disegnino non fa mai male.
Quello che viene fuori è:
- il punto critico che hai trovato sta fuori dall'intervallo che va considerato
- quindi non c'è altra alternativa che considerare gli estremi dell'intervallo: max e min saranno lì.
Per il momento buttiamo alle ortiche il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e consideriamo invece, come già detto che la funzione di 2 variabili $f(x,y) $ diventa, sul vincolo, funzione di una variabile e più precisamente vale $-x^3+1 $.
Cerco i max e minimi di questa funzione, ma dove ??
Se derivi questa funzione ottieni $-3x^2 $ che è vero si annulla per $x= 0 $ ma questo non è nè punto di max nè di min , è solo un punto di flesso a tangente orizzotale.La derivata prima è sempre negativa , tranne per $ x=0 $ e quindi la funzione è decrescente.
Quindi dove avrà il max ? qui devi cercare quale è l'intervallo della $ x $ su cui è definito il vincolo ( è una ellisse etc ) .
Ti vedo in difficoltà e ti dò un hint, il vincolo è dato da $8(x-1)^2 +y^2 =1 $ che riscrivo così : $ (x-1)^2/(1/(2sqrt(2)))^2+(y/1)^2=1 $ equazione canonica di una ellisse di centro $(1,0) $e di semiassi ........;è da qui che ricavi in che intervallo varia la $x $
Se è $a<= x<= b $ allora il max sarà in $x=a $, il minimo in $x=b $ essendo la funzione decrescente.
Spero di non averti confuso le idee...
Cerco i max e minimi di questa funzione, ma dove ??
Se derivi questa funzione ottieni $-3x^2 $ che è vero si annulla per $x= 0 $ ma questo non è nè punto di max nè di min , è solo un punto di flesso a tangente orizzotale.La derivata prima è sempre negativa , tranne per $ x=0 $ e quindi la funzione è decrescente.
Quindi dove avrà il max ? qui devi cercare quale è l'intervallo della $ x $ su cui è definito il vincolo ( è una ellisse etc ) .
Ti vedo in difficoltà e ti dò un hint, il vincolo è dato da $8(x-1)^2 +y^2 =1 $ che riscrivo così : $ (x-1)^2/(1/(2sqrt(2)))^2+(y/1)^2=1 $ equazione canonica di una ellisse di centro $(1,0) $e di semiassi ........;è da qui che ricavi in che intervallo varia la $x $
Se è $a<= x<= b $ allora il max sarà in $x=a $, il minimo in $x=b $ essendo la funzione decrescente.
Spero di non averti confuso le idee...
"Camillo":
Simpatico esercizio , un po' diverso dal solito
[OT]Lo vuoi un esercizio davvero simpatico che diedi all'appello dello scorso dicembre?
Determinare l'insieme di continuità e derivabilità della seguente funzione
[tex]$f(x)=(\cos x-2)^{\sin x}$[/tex]
[/OT]
ohhh, finalmente ci sono arrivato e ho pur capito cosa sbagliavo in lagrange... errore idiotissimo che mi vergogno anche solo di scrivere! Vi ringrazio tutti per la pazienza
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