Problema su massimi e minimi

[fabyc1]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo problema: Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare priva di coperchio di volume V dato, che abbia la superficie di area minima.
Io ho provato a procedere così: la superficie di area è $ S(t)=S(lat)+2*S(b) $ dove S(lat) è la superficie laterale e S(b) è la superficie di base, siccome la scatola manca del coperchio S(t) diventa $ S(t)= S(lat)+S(b) $. Il volume volume è $ V=S(b)*h-S(b) $ quindi avremo che $ S(t)=(2x+2y)h+2*V/(h-1) $, arrivata a questo punto non so più come procedere, sempre che fino a qui ho fatto giusto. C'è qualcuno che mi può aiutare?? Grazie mille a chi mi risponderà

[kobeilprofeta]

proviamo a dare per scontato che la base della scatola debba essere un quadrato di lato $x$; sia $h$ l'altezza della scatola.
$S=4x*h+x^2$
$V=x^2*h => h= frac{V}{x^2}$

$S=4*x*h+x^2 => S(x)=4x*frac{V}{x^2}+x^2=frac{4V}{x}+x^2$
$S'(x)=-frac{4V}{x^2}+2x$ supponendo x>0 (è la lunghezza del lato) ho $S'(x)=0 <=> -4V+2x^3=0 <=> x=root(3)(2V)$

[kobeilprofeta]

chiedo venia

[fabyc1]

"TeM":[quote="fabyc"]Il volume è $ V=S(b)*h-S(b) $.

Come puoi sottrarre un'area ad un volume?

Dunque, data una scatola a forma di parallelepipedo (priva di coperchio) di dimensioni \(x>0,\,y>0,\,z>0\),
dove \(z\) è l'altezza, dal momento che il volume è banalmente \(\small V = x\,y\,z\), dove \(V > 0\) è noto, segue che \(z = \frac{V}{x\,y}\).
Assodato ciò, dal momento che la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) che esprime l'area della superficie totale della scatola
è \(f(x,\,y) = x\,y + 2\,y\,z + 2\,x\,z = x\,y + 2\,\frac{V}{x} + 2\,\frac{V}{y} = x\,y+2\,V\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \) non rimane che minimizzare tale
funzione nell'aperto individuato da \(x > 0\), \(y > 0\). [/quote]
Grazie mille per avermi aiutata,ti volevo chiedere, allora da cosa me ne accorgo che i conti che sto facendo sono per una scatola senza coperchio?