Problema su limiti e integrali

[fenghuang]

Ciao a tutti, mi son trovato a fare un esercizio che non ho mai visto e non ho idea di come muovermi per risolverlo, né a che parti della teoria ricondurmi, quindi speravo che qualcuno potesse darmi qualche dritta

Comunque, ecco qui l'esercizio:

mi viene chiesto di calcolare, giustificando il procedimento, il limite

$\lim_{n \to \infty} \int_{3}^{pi} (x^3 -n)/(x^2 + n) dx$

Così a muzzo ho pensato di occuparmi prima dell'integrale, fissando $n$ come fosse un parametro e provando a integrare, per poi, dopo, applicare il limite, ma non ho idea del se sia giusto o meno. Inoltre non so proprio come giustificare il tutto

grazie in anticipo per l'aiuto, e scusate se praticamente non c'è nulla di svolto

[stormy1]

essendo l'intervallo d'integrazione limitato,se riesci a dimostrare che in tale intervallo la successione di termine generale
$f_n(x)=(x^3-n)/(x^2+n)$ converge uniformemente ad una funzione $f(x)$ allora il limite dell'integrale è uguale all'integrale del limite cioè è uguale a $ int_(3)^(pi) f(x) dx $

[Epimenide93]

"fenghuang":Così a muzzo ho pensato di occuparmi prima dell'integrale, fissando $n$ come fosse un parametro e provando a integrare, per poi, dopo, applicare il limite, ma non ho idea del se sia giusto o meno. Inoltre non so proprio come giustificare il tutto

È un procedimento che, se riesci a portare a termine, è corretto. Per ciascun \(n\) il tuo integrale ha un valore ben preciso, quindi non si tratta di nient'altro che del calcolo del limite di una successione di numeri reali (ovvero dei valori degli integrali). Se svolgi le operazioni nell'ordine in cui vengono poste (limite di integrali: si fanno gli integrali, si passa al limite) non hai nulla da giustificare.

Il più delle volte però non è possibile oppure è eccessivamente complicato procedere in questo modo, e si cerca di semplificare le cose invertendo i passaggi al limite o, come si suol dire "facendo passare il limite sotto il segno di integrale", per calcolare solo l'integrale della funzione limite della successione. Questo, al contrario del precedente, non sempre è un procedimento corretto (non è detto che integrale del limite e limite dell'integrale diano lo stesso risultato[nota]vedi ad esempio Rudin - Principles of Mathematical Analysis, terza ed. p. 146[/nota]), e ci sono vari teoremi che danno condizioni sufficienti in cui il procedimento è applicabile dando il risultato voluto, uno dei quali è quello suggerito da stormy, che si dimostra con la teoria dell'integrazione fatta da Riemann; poi ce ne sono altri (quali il teorema di Beppo Levi (o della convergenza monotona) ed il teorema di Lebesgue (o della convergenza dominata)), ma richiedono una teoria dell'integrazione più raffinata.