Problema su limite

[fenghuang]

ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per svolgere il seguente limite:

$\lim_{x \to \0+} ((e^[1-cos(sqrt(x))] -1)/log(x+1) -1/2)/x$

ora, la parte di sinistra che vi è a numeratore tende a $ 1/2 $ per x che tende a 0+, quindi mi ritrovo con una forma d'indecisione $0/0$
l'unico modo di risolvere il limite che mi è venuto in mente è de l'Hopital, quindi ho fatto la derivata del numeratore che mi risulta essere:

$[((e^(1-cos(sqrt(x))))*sin(sqrt(x))*log(1+x))/sqrt(x) + (2-2*e^(1-cos(sqrt(x))))/(x+1)]/(2*log^2(x+1))$

(ovviamente la derivata del denominatore è 1)

quindi ho cercato di svolgere il limite $ (f'(x))/(g'(x)) $

$ \lim_{x \to \0+} {[((e^(1-cos(sqrt(x))))*sin(sqrt(x))*log(1+x))/sqrt(x) + (2-2*e^(1-cos(sqrt(x))))/(x+1)]/(2*log^2(x+1))}/1 $ $ = \lim_{x \to \0+} [((e^(1-cos(sqrt(x))))*sin(sqrt(x))*log(1+x))/sqrt(x) + (2-2*e^(1-cos(sqrt(x))))/(x+1)]/(2*log^2(x+1)) $

da qui ho provato ad utilizzare gli sviluppi notevoli, ma senza mai riuscire ad arrivare a qualcosa di utile, e ora come ora non mi viene in mente altro. Se qualcuno potesse farmi vedere come risolverlo, anche con un procedimento diverso da de l'hopital, mi sarebbe di grande aiuto.

grazie

[vict85]

Io penso che sia più semplice usare le serie di Mc Laurin.

[fenghuang]

Potrei chiederti di mostrarmi come utilizzare correttamente McLaurin? almeno in un passaggio. Perchè è l'argomento la cui applicazione ho capito meno. Ti mostro come farei io, e dove non mi torna:

Se ad esempio voglio usarlo su un pezzo della mia funzione:

$e^(1- cos(sqrt(x)))$

la prima cosa che io farei sarebbe sviluppare con McLaurin il $ cos(sqrt(x)) $ nel seguente modo:

$cos(sqrt(x)) = cos(sqrt(x_0)) - [(sin(sqrt(x_0)))/sqrt(x_0)] * x + [(1/(2*2!))*(cos(sqrt(x))/x - sin(sqrt(x))/x^(3/2))]*x^2 $

dove mi sono fermato al secondo ordine solo a titolo esplicativo. Già qui ho un dubbio, nella derivata prima ho $(sin(sqrt(x_0)))/sqrt(x_0)$ che, essendo $ x_0 = 0$ è una forma indeterminata, e non so cosa fare. Devo considerare il fatto che sto facendo un limite e quindi posso usare i limiti notevoli?

grazie in anticipo

[vict85]

In effetti non possiede serie di McLaurin in zero perché \(\displaystyle \sqrt{x} \) non è derivabile in quel punto.

Cercando in giro ho visto che alcuni scrivevano \(\displaystyle y = \sqrt{x} \) e scrivevano \(\displaystyle \cos y = 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} + \dotsb\) facendo uscire fuori \(\displaystyle \cos y = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} + \dotsb\) con \(\displaystyle x > 0 \). Da quel che ho capito, in effetti, la serie converge a \(\displaystyle \cos\sqrt{x} \) ma sono arrugginito con queste cose quindi dovrebbe intervenire qualcuno più pratico di me.

Avevo pensato fosse la strada giusta perché \(\displaystyle \ln(x+1) = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}+ \dotsb \) ma è necessario che si approssimi \(\displaystyle \cos\sqrt{x} \) in modo più appropriato.

In particolare dobbiamo far vedere che la serie di prima, che scritta così sembra un po' abbozzata, sia corretta per lo meno nel primo termine. In altre parole:

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{x} = \frac12\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac12 \)

dove ho usato de l'Hôpital e il prodotto notevole di \(\displaystyle \frac{\sin x}{x} \).

[fenghuang]

ok grazie per la dritta su McLaurin. Non mi è chiaro però quello che intendi qui

"vict85":
Avevo pensato fosse la strada giusta perché \(\displaystyle \ln(x+1) = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}+ \dotsb \) ma è necessario che si approssimi \(\displaystyle \cos\sqrt{x} \) in modo più appropriato.

In particolare dobbiamo far vedere che la serie di prima, che scritta così sembra un po' abbozzata, sia corretta per lo meno nel primo termine. In altre parole:

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{x} = \frac12\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac12 \)

dove ho usato de l'Hôpital e il prodotto notevole di \(\displaystyle \frac{\sin x}{x} \).

presi per buoni i limiti che hai scritto nell'ultimo passaggio, capisco perchè sei arrivato a 1/2 come risultato(mi tornano il limite notevole e de l'Hopital) però non capisco da dove tiri fuori $\lim_{x\to 0^+}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{x}$ . Lo hai tirato fuori per

"vict85":
... far vedere che la serie di prima, che scritta così sembra un po' abbozzata, sia corretta per lo meno nel primo termine ...

nel qual caso non capisco cosa intendi per "corretta nel primo termine" e in che modo lo dimostri con questo limite

In compenso io ho svolto l'esercizio in un modo che non mi convince granché. lo posto, se vuoi dacci un occhiata

$\lim_{x \to \0+} ((e^[1-cos(sqrt(x))] -1)/log(x+1) -1/2)/x$ $ = \lim_{x \to \0+} ((1-cos(sqrt(x)))/log(x+1) -1/2)/x $ $ = \lim_{x \to \0+} ((1-cos(sqrt(x)))/log(x+1))/x - 1/(2x) $ $ = \lim_{x \to \0+} (1 - 1 + x/(2!) + o(x))/(x(x + o(x))) - 1/(2x)$ $ = \lim_{x \to \0+} ( x/(2!))/x^2 - 1/(2x) $ $ = \lim_{x \to \0+} 1/(2x) -1/(2x) = 0 $

cosa che temo di non poter fare poichè credo di doverlo considerare come fosse $ 0/0 $ che ne dici?

Tra l'altro non torna con il risultato di wolfram, che mi dice che il limite deve essere $1/3$

[vict85]

No, quello che intendevo dire è che \(1-\cos\sqrt{x}\) si comporta più o meno come \(\frac{x}{2}\) nell'intorno dell'origine.

[fenghuang]

ok immaginavo fosse una cosa simile. grazie per l'attenzione, proverò a risolvere l'esercizio in qualche altro modo.
se a qualcuno passa per la testa un idea su come farlo, è sempre ben accetta!