Problema su intorno circolare...
Ciao a tutti...
Ho un problema con gli intorni circolari, in particolare con quelli in $R^2$ e $R^3$.
Mettiamo caso che abbia uno spazio metrico (X,d) con $X = R^2$ e d = distanza euclidea. Mi serve l'intorno del tipo B(p,r) con p = (2,3) e r = 4.
Ora so che B(p,r) = {x € X : d(p,x) < r}, quindi l'intorno di p mi risulta essere l'insieme di tutti i punti x del piano che "stanno dentro" ad una circonferenza di centro in p e raggio r (escluso il contorno di tale circonferenza...). Ok, sul grafico lo disegno, ma, volessi indicare questi punti, a che punti corrispondono???
vorrei sapere anche per lo spazio euclideo $R^3$...
grazie mille ^_^
Ho un problema con gli intorni circolari, in particolare con quelli in $R^2$ e $R^3$.
Mettiamo caso che abbia uno spazio metrico (X,d) con $X = R^2$ e d = distanza euclidea. Mi serve l'intorno del tipo B(p,r) con p = (2,3) e r = 4.
Ora so che B(p,r) = {x € X : d(p,x) < r}, quindi l'intorno di p mi risulta essere l'insieme di tutti i punti x del piano che "stanno dentro" ad una circonferenza di centro in p e raggio r (escluso il contorno di tale circonferenza...). Ok, sul grafico lo disegno, ma, volessi indicare questi punti, a che punti corrispondono???
vorrei sapere anche per lo spazio euclideo $R^3$...
grazie mille ^_^
Risposte
Prova a definire una norma (su $\RR^2$ euclideo puoi). Allora i punti all'interno dell'intorno circolare di raggio $r$ centrato in $O=(0,0)$ sono tutti quelli aventi norma minore di $r$. Ciò è generalizzabile quindi ad un intorno centrato in qualsiasi punto...
Mmmmh, quindi ||x|| = $(2^2 + 3^2)^(1/2).
Questo mi dà il valore della distanza di x dall'origine, giusto?
Non credo di aver ben capito, come determino quali punti hanno norma minore di 4?
Questo mi dà il valore della distanza di x dall'origine, giusto?
Non credo di aver ben capito, come determino quali punti hanno norma minore di 4?
E' molto più banale di quanto pensi.
Aggiungi $z$ e $p_z$ alla disuguaglianza precedente.
"shinji":${(x, y)\inRR^2\ |\ (x-p_x)^2+(y-p_y)^2
Ora so che B(p,r) = {x € X : d(p,x) < r}, quindi l'intorno di p mi risulta essere l'insieme di tutti i punti x del piano che "stanno dentro" ad una circonferenza di centro in p e raggio r (escluso il contorno di tale circonferenza...). Ok, sul grafico lo disegno, ma, volessi indicare questi punti, a che punti corrispondono???
vorrei sapere anche per lo spazio euclideo $R^3$...
Aggiungi $z$ e $p_z$ alla disuguaglianza precedente.
Ok, grazie mille, ho capito!
Solo una cosa non mi è ancora chiara... in che modo da quell'espressione che ha postato dissonance riesco a risalire graficamente al fatto che l'intorno di p sul piano cartesiano sia una circonferenza di centro p e raggio r....
Solo una cosa non mi è ancora chiara... in che modo da quell'espressione che ha postato dissonance riesco a risalire graficamente al fatto che l'intorno di p sul piano cartesiano sia una circonferenza di centro p e raggio r....
"La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno tutti la stessa distanza da un medesimo punto fisso, detto centro della circonferenza."
Ah, ricordi di infanzia...
Ah, ricordi di infanzia...
Eh infatti, in verità quello di dissonance è solo l'interno del cerchio senza la circonferenza, quindi tutto al contrario 
Però direi che conoscendo la formula generale $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ della circonferenza credo sia abbastanza intuitivo riuscire a pensare che $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < r^2$ sono i punti interni, ovvero quelli dell'intorno circolare, nel tuo caso.

Però direi che conoscendo la formula generale $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ della circonferenza credo sia abbastanza intuitivo riuscire a pensare che $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < r^2$ sono i punti interni, ovvero quelli dell'intorno circolare, nel tuo caso.