Problema su intorno circolare...

mefist90-votailprof
Ciao a tutti...

Ho un problema con gli intorni circolari, in particolare con quelli in $R^2$ e $R^3$.

Mettiamo caso che abbia uno spazio metrico (X,d) con $X = R^2$ e d = distanza euclidea. Mi serve l'intorno del tipo B(p,r) con p = (2,3) e r = 4.

Ora so che B(p,r) = {x € X : d(p,x) < r}, quindi l'intorno di p mi risulta essere l'insieme di tutti i punti x del piano che "stanno dentro" ad una circonferenza di centro in p e raggio r (escluso il contorno di tale circonferenza...). Ok, sul grafico lo disegno, ma, volessi indicare questi punti, a che punti corrispondono???

vorrei sapere anche per lo spazio euclideo $R^3$...

grazie mille ^_^

Risposte
Injo
Prova a definire una norma (su $\RR^2$ euclideo puoi). Allora i punti all'interno dell'intorno circolare di raggio $r$ centrato in $O=(0,0)$ sono tutti quelli aventi norma minore di $r$. Ciò è generalizzabile quindi ad un intorno centrato in qualsiasi punto...

mefist90-votailprof
Mmmmh, quindi ||x|| = $(2^2 + 3^2)^(1/2).
Questo mi dà il valore della distanza di x dall'origine, giusto?
Non credo di aver ben capito, come determino quali punti hanno norma minore di 4?

dissonance
E' molto più banale di quanto pensi.
"shinji":
Ora so che B(p,r) = {x € X : d(p,x) < r}, quindi l'intorno di p mi risulta essere l'insieme di tutti i punti x del piano che "stanno dentro" ad una circonferenza di centro in p e raggio r (escluso il contorno di tale circonferenza...). Ok, sul grafico lo disegno, ma, volessi indicare questi punti, a che punti corrispondono???
${(x, y)\inRR^2\ |\ (x-p_x)^2+(y-p_y)^2
vorrei sapere anche per lo spazio euclideo $R^3$...

Aggiungi $z$ e $p_z$ alla disuguaglianza precedente.

mefist90-votailprof
Ok, grazie mille, ho capito!
Solo una cosa non mi è ancora chiara... in che modo da quell'espressione che ha postato dissonance riesco a risalire graficamente al fatto che l'intorno di p sul piano cartesiano sia una circonferenza di centro p e raggio r....

gugo82
"La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno tutti la stessa distanza da un medesimo punto fisso, detto centro della circonferenza."
Ah, ricordi di infanzia...

Injo
Eh infatti, in verità quello di dissonance è solo l'interno del cerchio senza la circonferenza, quindi tutto al contrario :)

Però direi che conoscendo la formula generale $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ della circonferenza credo sia abbastanza intuitivo riuscire a pensare che $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < r^2$ sono i punti interni, ovvero quelli dell'intorno circolare, nel tuo caso.

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