Problema su integrale triplo. Strati e fili.
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio in cui c'è da calcolare un integrale triplo.
\(\displaystyle \int \int \int_V z \)
Dove \(\displaystyle V=\{x,y,z>0 , 2-3\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 2-2\sqrt{x^2+y^2} \}\)
Io ho eseguito il calcolo facendo un integrazione per fili verticali e quindi ho impostato il calcolo come:
\(\displaystyle \int \int_B (\int_{2-3\sqrt{x^2+y^2}}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} z dz)\)
Dove \(\displaystyle B \) è il quarto di cerchio \(\displaystyle B=\{\dfrac{4}{9}\leq x^2+y^2 \leq 1 , 0 \leq \theta \leqq\dfrac{\pi}{2}\} \)
Quindi passano in coordinate polari ottengo
\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_{2/3}^1 \dfrac{(2-2\rho)^2-(2-3\rho)^2}{2} d\rho d\theta = \dfrac{\pi}{2\cdot2} \int_{2/3}^1 (4-8\rho+4\rho^2-4+12\rho-9\rho^2)\rho d\rho = \dfrac{\pi}{4} [\dfrac{4}{3}\rho^3-\dfrac{5}{4}\rho^4]_{2/3}^1 \)
E, salvo errori di calcolo, risulta \(\displaystyle = -\dfrac{\pi}{4}\dfrac{7}{108} \)
Il risultato giusto però dovrebbe essere \(\displaystyle \dfrac{5}{108}\pi \); inoltre tale risultato mi viene corretto usando l'integrazione per strati.
Sbaglio i conti? O sbaglio l'impostazione del sistema?
Ho un problema con un esercizio in cui c'è da calcolare un integrale triplo.
\(\displaystyle \int \int \int_V z \)
Dove \(\displaystyle V=\{x,y,z>0 , 2-3\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 2-2\sqrt{x^2+y^2} \}\)
Io ho eseguito il calcolo facendo un integrazione per fili verticali e quindi ho impostato il calcolo come:
\(\displaystyle \int \int_B (\int_{2-3\sqrt{x^2+y^2}}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} z dz)\)
Dove \(\displaystyle B \) è il quarto di cerchio \(\displaystyle B=\{\dfrac{4}{9}\leq x^2+y^2 \leq 1 , 0 \leq \theta \leqq\dfrac{\pi}{2}\} \)
Quindi passano in coordinate polari ottengo
\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_{2/3}^1 \dfrac{(2-2\rho)^2-(2-3\rho)^2}{2} d\rho d\theta = \dfrac{\pi}{2\cdot2} \int_{2/3}^1 (4-8\rho+4\rho^2-4+12\rho-9\rho^2)\rho d\rho = \dfrac{\pi}{4} [\dfrac{4}{3}\rho^3-\dfrac{5}{4}\rho^4]_{2/3}^1 \)
E, salvo errori di calcolo, risulta \(\displaystyle = -\dfrac{\pi}{4}\dfrac{7}{108} \)
Il risultato giusto però dovrebbe essere \(\displaystyle \dfrac{5}{108}\pi \); inoltre tale risultato mi viene corretto usando l'integrazione per strati.
Sbaglio i conti? O sbaglio l'impostazione del sistema?
Risposte
Così come lo hai fatto tu però è per strati. O sbaglio?
Non ho capito il tuo appunto... non riusciresti, per favore, a mostrarmi come sarebbe da impostare nel modo corretto integrando per fili?
Non ho capito il tuo appunto... non riusciresti, per favore, a mostrarmi come sarebbe da impostare nel modo corretto integrando per fili?
Se hai capito come è fatto il dominio,
forse per calcolarlo per fili, ti conviene suddividere i dominio come $D=D_1\setminusD_2$ con
\begin{align}
D_1:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R^3}: x,y,z,\ge 0,\,\,2-2\sqrt{x^2+y^2}\le z\right\}\\
D_2:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R^3}: x,y,z,\ge 0,\,\,2-3\sqrt{x^2+y^2}\le z\right\}
\end{align}
in modo da avere
\begin{align}
\iiint\limits_{D}z\,\,dxdydz =\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz -\iiint\limits_{D_2}z\,\,dxdydz;
\end{align}
per il primo integrale hai
\begin{align}
\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz &= \iint\limits_{C_1}\int_{z=0}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} z\,\,dxdydz= \iint\limits_{C_1}\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} \,\,dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_{C_1}\left(2-2\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy,
\end{align}
dove $C_1$ è l'insieme definito da
\[C_1:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\,x\ge0,\,\,y\ge 0\right\};\]
passando allora in coordinate polari, ricordando il fattore jacobiano di trasformazione, si ottiene
\begin{align}
\frac{1}{2}\iint\limits_{C_1}\left(2-2\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy= \frac{1}{2}\int_{\vartheta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{1}\rho\left(2-2\rho\right)^2 \,\,d\rho d\vartheta= \pi\int_{\rho=0}^{1}\rho\left(1+\rho^2-2\rho\right) \,\,d\rho= \pi\left[\frac{\rho^2}{2}+\frac{\rho^4}{4}-\frac{2\rho^3}{3}\right]_{\rho=0}^{1} =\frac{\pi}{12};
\end{align}
per il secondo hai
\begin{align}
\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz &= \iint\limits_{C_1}\int_{z=0}^{2-3\sqrt{x^2+y^2}} z\,\,dxdydz= \iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz = \iint\limits_{C_2}\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^{2-3\sqrt{x^2+y^2}} \,\,dxdy \\
&=\frac{1}{2}\iint\limits_{C_2}\left(2-3\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy,
\end{align}
dove $C_2$ è l'insieme definito da
\[C_2:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 4/3,\,\,x\ge0,\,\,y\ge 0\right\};\]
passando allora in coordinate polari, ricordando il fattore jacobiano di trasformazione, si ottiene
\begin{align}
\frac{1}{2}\iint\limits_{C_2}\left(2-3\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy= \frac{1}{2}\int_{\vartheta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{\frac{2}{3}}\rho\left(2-3\rho\right)^2 \,\,d\rho d\vartheta= \frac{\pi}{4}\int_{\rho=0}^{\frac{2}{3}}\rho\left(4+9\rho^2-12\rho\right) \,\,d\rho= \frac{\pi}{4}\left[\frac{9\rho^4}{4}-4 \rho^3+2\rho^2\right]_{\rho=0}^{\frac{2}{3}} = \frac{\pi}{27};
\end{align}
in definitiva
\begin{align}
\iiint\limits_{D}z\,\,dxdydz =\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz -\iiint\limits_{D_2}z\,\,dxdydz= \frac{\pi}{12} -\frac{\pi}{27}= \frac{5\pi}{108}.
\end{align}
forse per calcolarlo per fili, ti conviene suddividere i dominio come $D=D_1\setminusD_2$ con
\begin{align}
D_1:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R^3}: x,y,z,\ge 0,\,\,2-2\sqrt{x^2+y^2}\le z\right\}\\
D_2:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R^3}: x,y,z,\ge 0,\,\,2-3\sqrt{x^2+y^2}\le z\right\}
\end{align}
in modo da avere
\begin{align}
\iiint\limits_{D}z\,\,dxdydz =\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz -\iiint\limits_{D_2}z\,\,dxdydz;
\end{align}
per il primo integrale hai
\begin{align}
\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz &= \iint\limits_{C_1}\int_{z=0}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} z\,\,dxdydz= \iint\limits_{C_1}\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^{2-2\sqrt{x^2+y^2}} \,\,dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_{C_1}\left(2-2\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy,
\end{align}
dove $C_1$ è l'insieme definito da
\[C_1:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\,x\ge0,\,\,y\ge 0\right\};\]
passando allora in coordinate polari, ricordando il fattore jacobiano di trasformazione, si ottiene
\begin{align}
\frac{1}{2}\iint\limits_{C_1}\left(2-2\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy= \frac{1}{2}\int_{\vartheta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{1}\rho\left(2-2\rho\right)^2 \,\,d\rho d\vartheta= \pi\int_{\rho=0}^{1}\rho\left(1+\rho^2-2\rho\right) \,\,d\rho= \pi\left[\frac{\rho^2}{2}+\frac{\rho^4}{4}-\frac{2\rho^3}{3}\right]_{\rho=0}^{1} =\frac{\pi}{12};
\end{align}
per il secondo hai
\begin{align}
\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz &= \iint\limits_{C_1}\int_{z=0}^{2-3\sqrt{x^2+y^2}} z\,\,dxdydz= \iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz = \iint\limits_{C_2}\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^{2-3\sqrt{x^2+y^2}} \,\,dxdy \\
&=\frac{1}{2}\iint\limits_{C_2}\left(2-3\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy,
\end{align}
dove $C_2$ è l'insieme definito da
\[C_2:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 4/3,\,\,x\ge0,\,\,y\ge 0\right\};\]
passando allora in coordinate polari, ricordando il fattore jacobiano di trasformazione, si ottiene
\begin{align}
\frac{1}{2}\iint\limits_{C_2}\left(2-3\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \,\,dxdy= \frac{1}{2}\int_{\vartheta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{\frac{2}{3}}\rho\left(2-3\rho\right)^2 \,\,d\rho d\vartheta= \frac{\pi}{4}\int_{\rho=0}^{\frac{2}{3}}\rho\left(4+9\rho^2-12\rho\right) \,\,d\rho= \frac{\pi}{4}\left[\frac{9\rho^4}{4}-4 \rho^3+2\rho^2\right]_{\rho=0}^{\frac{2}{3}} = \frac{\pi}{27};
\end{align}
in definitiva
\begin{align}
\iiint\limits_{D}z\,\,dxdydz =\iiint\limits_{D_1}z\,\,dxdydz -\iiint\limits_{D_2}z\,\,dxdydz= \frac{\pi}{12} -\frac{\pi}{27}= \frac{5\pi}{108}.
\end{align}
beh... più chiaro di così non potevi essere! Grazie mille per l'aiuto!! Ho capito dove sbagliavo... Grazie ancora!
EDIT: forse hai fatto un piccolo errore di battitura, penso... \(\displaystyle C_2 = \{ \dots x^2+y^2\leq \dfrac{4}{9} \dots \} \)
EDIT: forse hai fatto un piccolo errore di battitura, penso... \(\displaystyle C_2 = \{ \dots x^2+y^2\leq \dfrac{4}{9} \dots \} \)
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