Problema su funzioni in due variabili

[anto.massy]

Ciao a tutti, ecco il mio problema:
Sia:
$ f:RRrarr RR $ una funzione di classe C2 t.c. f(1)=-1 e f'(1)=-3 e
g(x,y)=f(log(xy)).
Se
$ (del^2g)/(delx^2)+(del^2g)/(dely^2)=0 su (0,oo) x (o,oo) $

allora f(t)=..................................

Sono arrivato a fare le derivate seconde e quindi a scrivere l'equazione che mi è stata data nel modo seguente:
$ 1/(xy)f''(log(xy))+(1/x+1/y)f'(log(xy))=0 $
Ma da qui non ho più idee... magari è semplice ma io non ci arrivo... c'è qualcuno che può aiutarmi? grazie

[Rigel1]

Mi sa che hai sbagliato le derivate seconde...

[anto.massy]

Si.. scusami...
Allora:
$ g_x(x,y)=((f'(log(xy)))/x) rarr g^2_x(x,y)=((f''(log(xy)))/x^2)-((f'(log(xy)))/x^2) $
e:
$ g_y(x,y)=((f'(log(xy)))/y) rarr g^2_y(x,y)=((f''(log(xy)))/y^2)-((f'(log(xy)))/y^2) $

che (sperando ora siano giuste) mi hanno portato, dopo averle sostituite nell'equazione data, a concludere che:
$ f''(log(xy))=f'(log(xy)) $

DOMANDA: AMMESSO CHE IO ABBIA DERIVATO CORRETTAMENTE, COME FACCIO A TROVARE f(t) (p.s. t è uguale a log(xy)???) ?

[Rigel1]

$\frac{d}{dt}(f'(t) - f(t)) = 0$, $f'(1) - f(1) = -2$, da cui $f'(t) - f(t) = -2$ per ogni $t$.
Adesso basta risolvere l'equazione differenziale tenendo conto del fatto che $f(1) = -1$.

[anto.massy]

Grazie... scusami ma si era impastato il pc sei stato gentilissimo...
P.S. chiaramente l'eq differenziale che dici è quella con la funzione e la sua derivata prima giusto???

[Rigel1]

Problema di Cauchy $f'(t) - f(t) = -2$, $f(1) = -1$.

[anto.massy]

ok perfetto allora era giusto Grazie davvero tante