Problema su flusso del rotore

[Genny_it]

La traccia è la seguente:
Si determini il flusso del rotore del campo vettoriale:
$v(x,y,z)= (3x)i+4yk$
attraverso la semisfera avente centro l'origine e raggio $R$ nello spazio delle $y$ positive.
La superficie della sfera può essere parametrizzata come:

$S={ ( x=Rsenvarphicostheta ),( y=Rsenvarphisentheta ),( z=Rcosvarphi ):}$
con$ (varphi,theta) = [0,pi/2]x[0,2pi]$
utilizzando il calcolo diretto devo inizialmente calcolarmi il versore normale alla superficie che il libro porta uguale a
$tilde(n)= senvarphicosthetai+senvarphisenthetaj+cosvarphik$
ma io mi trovo diversamente ossia:
$tilde(n_x)=R^2sen^2varphicostheta;$
$tilde(n_y)=R^2sen^2varphisentheta;$
$tilde(n_z)=R^2senvarphicostheta;$
e quindi:
$tilde(n)= (R^2sen^2varphicostheta,R^2sen^2varphisentheta,R^2senvarphicostheta)$
Mi dite dove sbaglio l'ho ricontrollato più volte ma i calcoli penso di averli fatti bene, non riesco a capirlo (sempre che non abbia sbagliato il libro, anche se non lo penso)

p.s per calcolare i versori ho usato queste formule:

$tilde(n_x) = | ( y_varphi , y_theta ),( z_varphi , z_theta ) |$

$tilde(n_y) = | ( z_varphi , z_theta ),( x_varphi , x_theta ) |$

$tilde(n_z) = | ( x_varphi , x_theta ),( y_varphi , y_theta ) |$

[Genny_it]

"TeM":
Se ti chiedessi la dimostrazione algebrica delle restrizioni sui parametri credo che capiresti dove sta l'errore!

Non saprei farla

Comunque ti ringrazio ancora una volta, poi nell'uso del teorema della divergenza ignoravo il fatto di dover sottrarre alla superficie della semisfera, quella del piano dove è tagliata!

[Genny_it]

"Genny_it":
La superficie della sfera può essere parametrizzata come:

$S={ ( x=Rsenvarphicostheta ),( y=Rsenvarphisentheta ),( z=Rcosvarphi ):}$
con$ (varphi,theta) = [0,pi/2]xx[0,2pi]$

Io avevo scritto questo, che è la parametrizzazione generica della sfera se non erro.
nel nostro caso tu hai usato:

"TeM":parametrizzabile in modo naturale come \[ \small (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\varphi,\,\theta) = \left( R\,\sin\varphi\,\cos\theta, \; R\,\cos\varphi, \; R\,\sin\varphi\,\sin\theta \right)\,, \; \; \; \text{per} \; (\varphi,\,\theta) \in A := \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] \times [0,\,2\pi) \; . \]

cioè scritto come sono abituato:
$S={ ( x=Rsenvarphicostheta ),( y=Rcosvarphi ),( z=Rsenvarphisentheta ):}$

con$ (varphi,theta) = [0,pi/2]xx[0,2pi)$, anche se non capisco perchè la parentesi vicino a $2pi$ di $theta in [0,2pi)$ è aperta :/
Comunque, perchè la traccia ci dice: la semisfera di raggio $R$ nello spazio delle $y$ positive; quindi sostituendo i valori $(varphi,theta) = [0,pi/2]xx[0,2pi)$ nella parametrizzazione da me scritta otteniamo che la $y$ assume anche valori negativi, ad esempio quando il $sin theta$ vale $[-pi/2]$ quindi hai semplicemente sostituito l'asse $z$ con quello delle $y$ in modo che la $y$ non può assumere valori negativi? giusto? O almeno questa è l'interpretazione a cui sono giunto

[Genny_it]

Si, sei stato chiarissimo grazie, credo di aver capito