Problema su estremi per funzioni in due variabili

[Renton92]

ciao ragazzi, ho questa funzione di cui devo studiare gli estremi : $f(x,y) = x^2 log(1+y) + x^2*y^2 $ . ho trovato come unico punto critico il punto P(0,0), però ma matrice hessiana da determinante pari a zero ,essendo tutte le derivate secondo pari a zero in quel punto. come posso fare per determinare se il punto è di massimo,minimo o di sella?grazie

[Raptorista1]

Prova a studiare cosa fa \(|f(x_0) - f(x_0 + h)|\) in un intorno di \(x_0 = 0\).
Non sono sicuro che funzioni, ma questa è una tecnica standard quando l'hessiana è tutta piena di brutti buchi XD

[gio73]

Ciao, ho provato a immaginarmi il grafico di questa funzione, ma non è per niente semplice: vi dico quello che penso e se ho sbagliato per favore correggetemi.
1) lungo gli assi coordinati la nostra funzione vale 0, è definita anche nell'origine dove vale 0.
2) nel I e II quadrante è sempre positiva e cresce sempre di più (escluderei che l'origine sia un punto di massimo)
3) nel III e IV quadrante non è del tutto definita, nel semipiano (frontiera inclusa) sotto la retta $y=-1$, non è definita perchè lì l'argomento del logaritmo diverrebbe minore o uguale a 0. Ho l'impressione comunque che nelle rimanenti porzioni di III e IV quadrante la nostra funzione sia sempre negativa (il ramo negativo del logaritmo mi sembra che "vinca" sulla parabola, non so se mi sono spiegata...)

[Renton92]

quindi dovrebbe essere un minimo assoluto?

[gio73]

No, nè un massimo (0 è più piccolo di tutti positivi), nè un minimo (0 è più grande di tutti i negativi).
Sempre che i ragionamenti che ho fatto siano corretti...

[Renton92]

è vero. quindi a questo punto dovrebbe essere un punto di sella. grazie

[gio73]

Mah... prova a controllare anche con il metodo di Raptorista, non riesco granchè a immaginarmi il grafico di questa funzione.
non sono più tanto convinta di questa affermazione

"gio73":3) nel III e IV quadrante non è del tutto definita, nel semipiano (frontiera inclusa) sotto la retta $y=-1$, non è definita perchè lì l'argomento del logaritmo diverrebbe minore o uguale a 0. Ho l'impressione comunque che nelle rimanenti porzioni di III e IV quadrante la nostra funzione sia sempre negativa (il ramo negativo del logaritmo mi sembra che "vinca" sulla parabola, non so se mi sono spiegata...)

Fammi sapere che risultati ti dà l'altro metodo.