Problema su esercio differenziale

[danicolosimo]

Salve a tutti, sono alle prese con questo esercizio e non ne vengo fuori, non lo capisco proprio! viene dato $ f(e^t , t ) = t^2 , f(t^2 +1 , sent ) = t $ si chiede di calcolare il $ grad f (1,0 ) $ . So che devo usare la formula della catena ma non capisco come

[5mrkv]

Prova a usare la notazione di Leibniz
\begin{split}
\frac{\partial f(g(x))}{\partial g(x)}
&=\frac{\partial x}{\partial g(x)}\frac{\partial f(g(x))}{\partial x} \\
&=\frac{\partial x}{\partial g(x)}\frac{\partial f(x)}{\partial x} \\
&=\left [\frac{\partial g(x)}{\partial x}\right]^{-1}\frac{\partial f(x)}{\partial x}
\end{split}
E' più semplice ed il primo fattore mi ricorda il teorema della funzione inversa pag. 295 di Scribd del Pagani-Salsa link. A te i dettagli se ti sembra sensato

[danicolosimo]

mmm io non ho fatto questo teoirema.. secondo me non è difficile come esercizio ma non mi si accende la lampadina

[Rigel1]

Deriva ambo i membri di ciascuna uguaglianza (per derivare il primo membro usa la regola di derivazione della funzione composta) e valuta il risultato, in entrambi i casi, per \(t=0\).

[danicolosimo]

io ottengo con le regola della catena per la prima funzione $ 2te^t + 2t $ , per la seconda $2t + cost $ ma non credo sia giusto..

[Rigel1]

Dove è andata a finire la funzione \(f\)? Devi calcolare
\[
\frac{d}{dt} f(e^t, t) = \ldots
\]
e uguagliare il risultato a \(\frac{d}{dt} t^2 = 2t\). Poi scrivi l'uguaglianza per \(t=0\).

[danicolosimo]

ma devo derivare sia il primo che il secondo membro? e l' altra funzione?

[Rigel1]

"Rigel":Deriva ambo i membri di ciascuna uguaglianza (per derivare il primo membro usa la regola di derivazione della funzione composta) e valuta il risultato, in entrambi i casi, per \(t=0\).

[danicolosimo]

ci sono arrivato!