Problema su convergenza di una serie

[rikytoro1]

Ciao a tutti!vi chiedo un aiuto su un esercizio che ho provato a fare ma che non so se è giusto...è definita questa successione:
${(a_0=ln2),(a_(n+1)=f(a_n)):}$ con $f(x)=(e^x-1-x)/x$
devo dimostrare che la serie $\sum_{n=0}^\infty{a_n}$ converge.
Io ho ossrvato che la serie è a termini positivi quindi posso usare il criterio del rapporto.
$(a_(n+1))/(a_n)=(e^(a_n)-1-a_n)/(a_n)^2$ quindi
$\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=\lim_{n \to \infty}(e^(a_n)-1)/(a_n)^2-\lim_{n \to \infty}1/(a_n)$ ;
dato che $e^(a_n)-1\sim a_n$ allora
$\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=\lim_{n \to \infty}1/(a_n)-\lim_{n \to \infty}1/(a_n)=0<1$
quindi la serie converge.
Non so però se il ragionamento è giusto,anche perchè non ho verificato se la successione ha limite.
Grazie per l'aiuto!

[ciampax]

La cosa potrebbe funzionare.... ammesso che tu riesca a dimostrare che $a_n$ è infinitesima (altrimenti non puoi usare il fatto che $e^{a_n}-1\sim a_n$).

[rikytoro1]

ok...allora adesso ci provo..grazie mille!

[ViciousGoblin]

Oltre a quello che ha detto ciampax c'e' un'altra imprecisione. Ammesso che $a_n\to0$

$a_{n+1}/a_n=\frac{e^{a_n}-1-a_n}{a_n^2}\to 1/2$ (per Taylor)

Quindi non viene zero . in ogni caso viene un numero minore di uno e sei a posto.

EDIT Il tuo ragionamento iniziale e' sbagliato in quanto, se $a_n\to0$, allora $1/a_n\to\infty$ e quindi hai scritto una forma indeterminata $+\infty-\infty$.

[ciampax]

Era lì che speravo riuscisse ad arrivare da solo, Vicious!