Problema su cauchy e convergenza

[puffosi]

Le successioni (xn)n e (yn)n sono di cauchy.
Devo dimostrare che la successione (d(xn,yn))n è convergente.

[Kroldar]

Uhm... sono un po' scettico...
Nel seguito ogni spazio a cui farò riferimento si sottointenderà dotato della topologia euclidea.
Prendiamo due successioni $x_n$ e $y_n$ tali che $x_n, y_n in QQ AA n in NN$. Ipotizziamo $x_n to alpha$ e $y_n to beta$ in $RR$, con $alpha,beta in RR\\QQ$ e tali che $|alpha-beta| in RR\\QQ$. Allora $x_n$ e $y_n$ sono di Cauchy in $QQ$. Detta $d$ la distanza euclidea, risulta $d(x_n,y_n) in QQ$ ma $d(x_n,y_n) to |alpha-beta|$ in $RR$, dunque $d(x_n,y_n)$ non converge in $QQ$...

[leev]

Per $epsilon >0$, esiste $M$ tale che per tutti i $k,l > M$:
$d(x_k,x_l) < epsilon/2$ e
$d(y_k,y_l) < epsilon/2$

Abbiamo:
$|d(x_k,y_k)-d(x_l,y_l)|<=$
$|d(x_k,x_l)+d(x_l,y_k)-(d(x_l,y_k) - d(y_l,y_k))|$
$<=|d(x_k,x_l) + d(y_k,y_l)|$
$<= |d(x_k,x_l) |+ |d(y_k,y_l)|<= epsilon/2+epsilon/2 = epsilon$

Allora $(d(x_n,y_n))_n$ è una successione di Cauchy in $RR$, dunque converge.

(ho utilizzato che la distanza è non-negativa; altrimenti le disequazioni non sarebbero corrette)

[Thomas16]

"Kroldar":Uhm... sono un po' scettico...
Nel seguito ogni spazio a cui farò riferimento si sottointenderà dotato della topologia euclidea.
Prendiamo due successioni $x_n$ e $y_n$ tali che $x_n, y_n in QQ AA n in NN$. Ipotizziamo $x_n to alpha$ e $y_n to beta$ in $RR$, con $alpha,beta in RR\\QQ$ e tali che $|alpha-beta| in RR\\QQ$. Allora $x_n$ e $y_n$ sono di Cauchy in $QQ$. Detta $d$ la distanza euclidea, risulta $d(x_n,y_n) in QQ$ ma $d(x_n,y_n) to |alpha-beta|$ in $RR$, dunque $d(x_n,y_n)$ non converge in $QQ$...

si ma la distanza si definisce a valori reali....

[Kroldar]

"Thomas":
si ma la distanza si definisce a valori reali....

Un numero razionale è anche reale

[Luca.Lussardi]

Probabilmente l'autore si è dimenticato di dire che sta lavorando in $\RR$, o perlomeno in ambiente completo. $\QQ$ non è uno spazio metrico completo.