Problema su calcolo di un integrale

[julio85]

Dovrei risolvere questo in tegrale ma arrivato a un certo punto mi blocco

$ int (1+ 2e^x) / (e^(2x) - 1) dx $

ho fatto così: ho moltiplicato e diviso tutto per $ e^x $ e poi ho fatto la sostituzione $ e^x = t $ e $dy = e^x dx $ ottenendo

$ int (1+2y) / ((y^2-1)y) dy = int (1+2y) / ((y+1)(y-1)y) dy $


e qui mi blocco....come si scompone?mi potete aiutare per favore?

[julio85]

la sostituzione che ho fatto è $ e^x = y $ e non t come avevo scritto sopra

[deserto1]

La sostituzione va bene.
Per la scomposizione basta determinare $a,b,c in RR$ tali che
$(1+2y)/((y-1)y(y+1))=a/(y-1)+b/y+c/(y+1)$
A questo punto l'integrazione diventa banale.

[julio85]

ok grazie....però questo metodo con a A B C non mi è tanto chiaro....nel senso non capisco come applicarlo nele varie circostanze perchè in certi esercizi funziona e in certi no .... per esempio ho quest'altro integrale

$ int sinx / (4 - 5sinx) dx $ con le opportune sostituzioni arrivo qua

$ int (2t) / (2t^2-5t+2) * 1/(1+t^2)dt = int (2t) / ((t-2)(2t-1)(1+t^2))dt $

ora se faccio il metodo di prima non mi viene....la domanda è posso usare A B e C come nell'esercizio prima?altrimenti A B e C come si usano?

[deserto1]

"julio85":

$ int (2t) / (2t^2-5t+2) * 1/(1+t^2)dt = int (2t) / ((t-2)(2t-1)(1+t^2))dt $

Ecco in questo caso ti consiglierei di scomporre così:

$ (2t) / ((t-2)(2t-1)(1+t^2)) = a/(t-2)+b/(2t-1)+(ct+d)/(1+t^2)$ dove $a,b,c,d in RR$

[julio85]

ti ringrazio tantissimo! però vorrei capire anche il criterio che si usa.....come fai a "decidere" in quale modo usare i parametri A B C D.....scusami ma ad ogni esercizio di questa tipologia vado in crisi e quindi vorrei capirlo bene

[deserto1]

Tutto dipende dal grado del polinomio che hai al denominatore, devi scomporre usando al numeratore un polinomio esattamente di un grado inferiore; ad esempio:

$ (2t) / ((t-2)(1+t)) = a/(t-2)+b/(1+t)$

$ (2t) / ((t-2)(1+t^2)) = a/(t-2)+(bt+c)/(1+t^2)$

$ (2t) / ((1+t^2)(2+t^2)) = (at+b)/(1+t^2)+(ct+d)/(2+t^2)$

[carde1]

"deserto":La sostituzione va bene.
Per la scomposizione basta determinare $a,b,c in RR$ tali che
$(1+2y)/((y-1)y(y+1))=a/(y-1)+b/y+c/(y+1)$
A questo punto l'integrazione diventa banale.

mi potreste fa vedere come si finisce qua??
grazie

[julio85]

io l'ho fatto così:

$ A / y + B / (y+1) + C / (y-1) = (2y+1) / (y(y+1)(y-1))$ (1) fai il minimo comune multiplo ed ottieni

A(y+1)(y-1)+By(y-1)+Cy(y+1) = 2y+1

facendo questi calcoli ottieni

(A+B+C)y^2+(-B+C)y-A=2y+1 e poi imposti questo sistema e ti trovi i valori

A+B+C=0
-B+C=2
-A=1

una volta trovati li sostituisce all'espressione (1) e risolvi l'integrale

non so se si è capito....spero di si

[julio85]

vediamo se ho capito bene questo metodo.....è giusto scomporre così questa funzione?

$ int 2/(t^2(t^2+1))dt = int A/t^2 + (Bt+C)/(t^2+1)dt $

[deserto1]

Direi che hai scomposto bene