Problema su BV e su funzioni misurabili
Ciao a tutti. Ho da proporvi due esercizi, spero che mi possiate aiutare a risolverli:
1. Sia $f:[0,1] -> \mathbb{R}$ definita da $f(x)=1$ se $x \in \mathbb{Q}\cap [0,1]$ e $f(x)=0$ se $x \in \mathbb{Q}^c\cap [0,1]$. La funzione $f$ è a variazione limitata in $[0,1]$?
2. Si trovi una successione di funzioni misurabili $(f_n)$, definite in $[0,+\infty]$, tali che $\lim_{n \to +\infty} f_n=0$, ma $\lim_{n \to +\infty} \int f_n=1$. Mostrare che si può scegliere la successione $f_n$ in modo che converga uniformemente a zero.
Non saprei da dire iniziarci... GRAZIE MILLE!!!
1. Sia $f:[0,1] -> \mathbb{R}$ definita da $f(x)=1$ se $x \in \mathbb{Q}\cap [0,1]$ e $f(x)=0$ se $x \in \mathbb{Q}^c\cap [0,1]$. La funzione $f$ è a variazione limitata in $[0,1]$?
2. Si trovi una successione di funzioni misurabili $(f_n)$, definite in $[0,+\infty]$, tali che $\lim_{n \to +\infty} f_n=0$, ma $\lim_{n \to +\infty} \int f_n=1$. Mostrare che si può scegliere la successione $f_n$ in modo che converga uniformemente a zero.
Non saprei da dire iniziarci... GRAZIE MILLE!!!
Risposte
1. Fissato $n\in \mathbb{N}$, prendi $x_{2k} = k/n$, $k=0,...,n$, e scegli, per ogni $k = 1,...,n$, $x_{2k-1} \in (x_{2k-2}, x_{2k}) \cap \mathbb{Q}^c$.
Poiché sai che $TV(f) \ge \sum_{j=1}^{2n} |f(x_j) - f(x_{j-1}|=...$, dovresti poter concludere vista l'arbitrarietà di $n$.
2. $f_n(x) = (n-|x-n|)/n^2$ per $x\in [0,2n]$, $f_n(x) = 0$ per $x>2n$, fa al caso tuo.
P.S.: quando chiedi un aiuto dovresti anche postare i tentativi che hai fatto per risolvere gli esercizi.
Poiché sai che $TV(f) \ge \sum_{j=1}^{2n} |f(x_j) - f(x_{j-1}|=...$, dovresti poter concludere vista l'arbitrarietà di $n$.
2. $f_n(x) = (n-|x-n|)/n^2$ per $x\in [0,2n]$, $f_n(x) = 0$ per $x>2n$, fa al caso tuo.
P.S.: quando chiedi un aiuto dovresti anche postare i tentativi che hai fatto per risolvere gli esercizi.
per l'esercizio 2...avevo pensato di considerare la successione di funzioni $f_n(x)=\frac{2x}{n^2}$ il cui limite puntuale fà $0$, ma calcolando il limite dell'integrale ottengo $1$... Questa successione converge a zero uniformemente??? dovrei calcolarmi il $\lim_{n \to +\infty}$ sup ${|f_n(x)-f(x)|}$ e dovrebbe fare $0$.... arg...
si scusa... la prossima volta inserisco tutto in un unico messaggio... grazie mille
Immagino tu intenda $f_n(x) = 2x/n^2$ per $x\in [0,n]$, $f_n(x) =0$ per $x>n$.
Anche questa successione va bene; la convergenza uniforme a $f = 0$ segue dal fatto che, per ogni $n$,
$0\le f_n(x) \le f_n(n) = 2/n$ per ogni $x\in [0,+\infty)$.
Anche questa successione va bene; la convergenza uniforme a $f = 0$ segue dal fatto che, per ogni $n$,
$0\le f_n(x) \le f_n(n) = 2/n$ per ogni $x\in [0,+\infty)$.
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