Problema stima rapidità divergenza serie
buongiorno a tutti. ho un problema con questo esercizio:
$ sum_(x = 1) ^(+oo )xe^x $
devo trovare la stima asintotica della rapidità di divergenza della serie utilizzando il confronto integrale. il mio problema è che una volta che ho fatto i due integrali delle somme parziali, il primo mi viene:
$ int_(0)^(n) xe^x dx = e^n(n-1)+1 ~ n e^n $
il secondo integrale viene invece:
$ int_(1)^(n+1) xe^x dx = n e^(n+1) ~ n e^(n+1) $
teoricamente ora la stima della rapidità dovrebbe essere uguale per entrambe le somme parziali, ma sono asintoticamente diverse...... dove sbaglio???
$ sum_(x = 1) ^(+oo )xe^x $
devo trovare la stima asintotica della rapidità di divergenza della serie utilizzando il confronto integrale. il mio problema è che una volta che ho fatto i due integrali delle somme parziali, il primo mi viene:
$ int_(0)^(n) xe^x dx = e^n(n-1)+1 ~ n e^n $
il secondo integrale viene invece:
$ int_(1)^(n+1) xe^x dx = n e^(n+1) ~ n e^(n+1) $
teoricamente ora la stima della rapidità dovrebbe essere uguale per entrambe le somme parziali, ma sono asintoticamente diverse...... dove sbaglio???
Risposte
$n e^{n+1}=e\cdot n e^n$... benedette proprietà delle potenze...
ok fino a là ci ero arrivato anchio xD il problema che il prof ci ha detto che entrambe le stime devono essere uguali, $ e e^n n $ e $ e^n n $ non sono asintoticamente uguali.. o no? xD
...ma come no?
Ma secondo te le costanti influiscono sulle stime? Ma lo sai cosa significa il simbolo di similitudine per le stime asintotiche? Ma io dico, perché non ve la leggete la teoria?????
scusate l'ignoranza ma
$ (e e^n n)/(e^n n) = e != 1 $
$ (e e^n n)/(e^n n) = e != 1 $
E quindi? Perché, c'è bisogno che faccia 1 quel rapporto perché le due successioni si comportino allo stesso modo? E' un problema di costanti, secondo te? Rifletti bene su ciò che dici.
piu che altro mi confonde il fatto che spesso il prof quando eguaglia un espressione con un asintotico se c'è una costante moltiplicata la inserisca nella stima, per cui sono sempre stato convinto che influissero
@Daniss.
Ultimamente ho notato che il problema di non vedere per bene il discorso di base che giustifica l'uso di stime asintotiche e simboli di Landau è comune in modo preoccupante,e vorrei indagare in merito:
posso chiederti la definizione che t'è stata data d'equivalenza asintotica e le Proposizioni da te apprese immediatamente prima e durante lo svolgimento di quest'argomento?
Saluti dal web.
Ultimamente ho notato che il problema di non vedere per bene il discorso di base che giustifica l'uso di stime asintotiche e simboli di Landau è comune in modo preoccupante,e vorrei indagare in merito:
posso chiederti la definizione che t'è stata data d'equivalenza asintotica e le Proposizioni da te apprese immediatamente prima e durante lo svolgimento di quest'argomento?
Saluti dal web.
Insomma, hai mostrato che esistono due costanti \(0
c\ n\ e^n \leq \sum_{k=1}^n k\ e^k \leq C\ n\ e^n
\]
(uso \(k\) al posto di \(x\) come contatore, perché la \(x\) mi serve più avanti come variabile continua
); usando i simboli di Landau, ciò equivale a dire che:
\[
\sum_{k=1}^n k\ e^k = \Theta \left( n\ e^n\right)\; .
\]
Questo, euristicamente, suggerisce che potrebbe essere possibile una stima asintotica precisa[nota]Con stima asintotica precisa intendo una di quelle che di solito si denotano col simbolo di Landau \(\sim\) definito mediante la relazione:
\[
f(n) \sim g(n) \quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow} \quad f(n)-g(n) = \text{o} (g(n))
\]
(N.B.: il secondo membro dell'implicazione è equivalente a \(\lim_n \frac{f(n)}{g(n)}=1\) solo se \(g(n)\neq 0\) per \(n\) grande!).[/nota] del tipo:
\[
\sum_{k=1}^n k\ e^k \sim \gamma\ n\ e^n
\]
in cui \(\gamma >0\) è un'opportuna costante appartenente all'intervallo \([c,C]\)... Però, probabilmente, per ottenere tale stima bisognerà usare una tecnica un po' più "sofisticata".
Ad esempio, è evidente che:
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^n k\ x^k &= x\ \sum_{k=0}^n k\ x^{k-1} \\
&= x\ \sum_{k=0}^n \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ x^k\right] \\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \sum_{k=0}^n x^k\right] \\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right]\\
&= \cdots
\end{split}
\]
e ciò, sostituendo \(x=e\) alla fine dei conti, ti fornisce un'espressione esplicita in forma chiusa per la tua sommatoria.
Da questa espressione riuscirai sicuramente a ricavare quello che ti serve.
c\ n\ e^n \leq \sum_{k=1}^n k\ e^k \leq C\ n\ e^n
\]
(uso \(k\) al posto di \(x\) come contatore, perché la \(x\) mi serve più avanti come variabile continua
); usando i simboli di Landau, ciò equivale a dire che:\[
\sum_{k=1}^n k\ e^k = \Theta \left( n\ e^n\right)\; .
\]
Questo, euristicamente, suggerisce che potrebbe essere possibile una stima asintotica precisa[nota]Con stima asintotica precisa intendo una di quelle che di solito si denotano col simbolo di Landau \(\sim\) definito mediante la relazione:
\[
f(n) \sim g(n) \quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow} \quad f(n)-g(n) = \text{o} (g(n))
\]
(N.B.: il secondo membro dell'implicazione è equivalente a \(\lim_n \frac{f(n)}{g(n)}=1\) solo se \(g(n)\neq 0\) per \(n\) grande!).[/nota] del tipo:
\[
\sum_{k=1}^n k\ e^k \sim \gamma\ n\ e^n
\]
in cui \(\gamma >0\) è un'opportuna costante appartenente all'intervallo \([c,C]\)... Però, probabilmente, per ottenere tale stima bisognerà usare una tecnica un po' più "sofisticata".
Ad esempio, è evidente che:
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^n k\ x^k &= x\ \sum_{k=0}^n k\ x^{k-1} \\
&= x\ \sum_{k=0}^n \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ x^k\right] \\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \sum_{k=0}^n x^k\right] \\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right]\\
&= \cdots
\end{split}
\]
e ciò, sostituendo \(x=e\) alla fine dei conti, ti fornisce un'espressione esplicita in forma chiusa per la tua sommatoria.
Da questa espressione riuscirai sicuramente a ricavare quello che ti serve.
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