Problema Sommatoria

[mariolino8999]

Salve, vi pongo un problema che non riesco a risolvere:
$ sum_(n >= 2) n*(1/2)^(n-1) $ =..........
Si potrebbe scrivere che:
$ sum_(n >= 2) n*(1/2)^(n-1) $= $ sum_(n >= 2) n* sum_(n >= 2)(1/2)^(n-1) $ ??
Vi ringrazio in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao mariolino8999,

Prova a fare la derivata della serie geometrica, che è una serie di potenze...

[anto_zoolander]

$sum_(ngeq2)n(1/2)^(n-1)=2sum_(ngeq2)n(1/2)^n$

Tieni guarda questo

[mariolino8999]

ho provato a guardare il link ma non sono riuscito a capirne molto

[pilloeffe]

Ciao mariolino8999,

Visto che hai scritto $sum_{n \ge 2}$, ho supposto che quella che hai proposto sia una serie della quale è richiesta la somma.

Parto dal presupposto che tu sappia che si ha:

$sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = frac{1}{1 - x}$

Quest'ultima è la ben nota serie geometrica, che è una serie di potenze, e come tale valgono tutti i teoremi che valgono per la serie di potenze. In particolare si ha:

$frac{d}{dx} sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = frac{d}{dx} frac{1}{1 - x}$

cioè

$sum_{n = 0}^{+\infty} frac{d}{dx} x^n = frac{1}{(1 - x)^2}$

In definitiva si ha:

$sum_{n = 1}^{+\infty} n x^{n - 1} = frac{1}{(1 - x)^2}$

Scrivendo esplicitamente il primo termine della serie, si ha:

$1 + sum_{n = 2}^{+\infty} n x^{n - 1} = frac{1}{(1 - x)^2}$

Isolando la serie che ti interessa, si ha:

$sum_{n = 2}^{+\infty} n x^{n - 1} = frac{1}{(1 - x)^2} - 1 = frac{2x - x^2}{(1 - x)^2}$

La somma della serie che hai proposto si trova nel caso particolare $x = frac{1}{2}$.

[mariolino8999]

Grazie mille!!! adesso guardando i passaggi è molto più chiaro!