Problema serie
salve ragazzi non so proprio come mettere mano nello studio delle serie...qualcuno mi può aiutare? non riesco a capire il passaggio da an ad sn.... thanks!!!
Risposte
$a_n$ è una successione quindi, intuitivamente, una lista infinita di numeri $(a_1,a_2,...)$.
La $s_n$ è semplicemente un'altra successione, costruita così:
$s_n=$ somma dei primi $n$ numeri che compaiono nella lista sopra
vale a dire $s_n=a_1+a_2+...+a_n$. Solitamente si usa il simbolo compatto $s_n=\sum_{i=1}^na_i$
E' questo che volevi sapere?
La $s_n$ è semplicemente un'altra successione, costruita così:
$s_n=$ somma dei primi $n$ numeri che compaiono nella lista sopra
vale a dire $s_n=a_1+a_2+...+a_n$. Solitamente si usa il simbolo compatto $s_n=\sum_{i=1}^na_i$
E' questo che volevi sapere?
ok e fin qui ci sono ma se io ho 1/[(n+2)(n+3)] come faccio a calcolarmi sn?
da 0 ad infinito XD
Ok, allora il problema non stava nella definizione 
Non esiste un metodo generale per sommare una serie. Ci sono dei metodi per dei casi particolari, tipo nel tuo caso la $s_n$ può essere riscritta così
$s_k=\sum_{n=0}^k1/{(n+2)(n+3)}=$(sposto gli indici solo per comodità)$=\sum_{n=2}^{k+2}1/{n(n+1)}=\sum_{n=2}^{k+2}(1/n-1/{n+1})$.
Da qui devi ragionarci su. Ti do un consiglio: scrivi esplicitamente l'intera somma $s_k$ per $k$ piccoli e nota che $s_k$ ha una certa proprietà. Utilizza dunque quella proprietà per calcolare $\lim_{n->oo}s_n$ che è la somma della serie.
Non esiste un metodo generale per sommare una serie. Ci sono dei metodi per dei casi particolari, tipo nel tuo caso la $s_n$ può essere riscritta così
$s_k=\sum_{n=0}^k1/{(n+2)(n+3)}=$(sposto gli indici solo per comodità)$=\sum_{n=2}^{k+2}1/{n(n+1)}=\sum_{n=2}^{k+2}(1/n-1/{n+1})$.
Da qui devi ragionarci su. Ti do un consiglio: scrivi esplicitamente l'intera somma $s_k$ per $k$ piccoli e nota che $s_k$ ha una certa proprietà. Utilizza dunque quella proprietà per calcolare $\lim_{n->oo}s_n$ che è la somma della serie.
ero arrivato anche io a questo modo di scrivere.... ora però se scrivo esplicitamente la somma ottengo: (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) +.....+... ma non so più andare avanti...
Nota che c'è 1/2 all'inizio poi dei termini di segno alterno che a due a due si eliminano a vicenda.
Quando calcoli $s_n$ quindi resta solo 1/2 e l'ultimo termine (che non viene cancellato), quindi $s_n=1/2-1/{n+3}$.
Quando calcoli $s_n$ quindi resta solo 1/2 e l'ultimo termine (che non viene cancellato), quindi $s_n=1/2-1/{n+3}$.
ma certo!!!! i termini si semplificano a coppie!!!!! -1/3 +1/3 !!!!! quindi siccome la mia sommatoria va da 0 a infinito posso scrvere il mio sn come sommatoria di (1/n - 1/(n+1)) però da 1 ad infinito... infatti se metto 0 non posso... quindi devo fare il limite che tende ad infinito di 1-1/(n+1)
si si ci sono 
Devi fare il limite per $n$ che tende a infinito di $s_n=1/2-1/{n+3}$.
Da dove è uscito $1-1/{n+1}$ ??
La sommatoria, con gli indici "spostati" per comodità, parte da $2$, non da $1$.
Da dove è uscito $1-1/{n+1}$ ??
La sommatoria, con gli indici "spostati" per comodità, parte da $2$, non da $1$.
si mi sono confuso con gli indici XD
ora sto facendo questo es invece: somma da 1 a infinito di (1/(4n^2-1))...
ora ho scomposto il denominatore in (2n-1)(2n+1) e ho scritto il tutto in (1/(2n-1)) - (1/(2n+1)) e ottengo la seguente successione: (1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) +... insomma come prima ottengo che gli elementi si annullano a coppia... ora passo a fare il limite del mio sn ed ottengo 1.... però nei risultati c'è 1/2... ho forse sbagliato qualcosa?
ora sto facendo questo es invece: somma da 1 a infinito di (1/(4n^2-1))...
ora ho scomposto il denominatore in (2n-1)(2n+1) e ho scritto il tutto in (1/(2n-1)) - (1/(2n+1)) e ottengo la seguente successione: (1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) +... insomma come prima ottengo che gli elementi si annullano a coppia... ora passo a fare il limite del mio sn ed ottengo 1.... però nei risultati c'è 1/2... ho forse sbagliato qualcosa?
"Matrix8989":
si mi sono confuso con gli indici XD
ora sto facendo questo es invece: somma da 1 a infinito di (1/(4n^2-1))...
ora ho scomposto il denominatore in (2n-1)(2n+1) e ho scritto il tutto in (1/(2n-1)) - (1/(2n+1)) e ottengo la seguente successione: (1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) +... insomma come prima ottengo che gli elementi si annullano a coppia... ora passo a fare il limite del mio sn ed ottengo 1.... però nei risultati c'è 1/2... ho forse sbagliato qualcosa?
Dovresti usare l'ambiente latex per scrivere le formule, diventano sempre più illeggibili così
Comunque sì, c'è un errorino
$1/{(2n+1)(2n-1)}\ne 1/{2n-1}-1/{2n+1}$
ehehe non lo so usare latex XD cmq si mi sonno accorto dell'errore... ma non riesco a capire come correggere XD
Scrivi semplicemente $1/{(2n+1)(2n-1)}=1/2(1/{2n-1}-1/{2n+1})$
Quando andrai a calcolare $s_n$ ti accorgerai che quell'1/2 si raccoglie e non da fastidio.
Quando andrai a calcolare $s_n$ ti accorgerai che quell'1/2 si raccoglie e non da fastidio.
ok ma introducendo n=1 posso scrivere in forma generale (1/2)(1-(1/(2n+1))) oppure matematicamente è scorretto?
Puoi scrivere
$s_n=\sum_{k=1}^n 1/2(1/{2k-1}-1/{2k+1})=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...-1/{2n+1})=1/2(1-1/{2n+1})$
Che credo sia la stessa cosa che hai scritto tu (dovresti proprio imparare ad usare l'ambiente latex).
$s_n=\sum_{k=1}^n 1/2(1/{2k-1}-1/{2k+1})=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...-1/{2n+1})=1/2(1-1/{2n+1})$
Che credo sia la stessa cosa che hai scritto tu (dovresti proprio imparare ad usare l'ambiente latex).
sarà una delle prime cose che farò appena finisco la sessione d'esame XD promesso!! cmq si è quello che avevo scritto io 
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