Problema Serie...

[marck1806]

salve a tutti...
sono nuovo di qui, quindi spero possiate perdonarmi per qualsiasi errore e/o omissione...

ho un problema con la seguente serie

` \sum_{n=1}^\infty\ tan(n^2/(n^(α)+1))`

nell'esercizio si richiede di determinare per quali valori di α>2 la serie converge...

Grazie a chiunque possa aiutarmi...

[Seneca1]

Da regolamento è richiesto un tuo tentativo di soluzione.

Comunque, quali criteri conosci?

[marck1806]

ops... chiedo scusa...
cmq ho tentato di applicare il criterio del rapporto ottenedo
$\lim_{n \to \infty}tan ((n+1)^2/((n+1)^α +1) )*1/tan(n^2/(n^α +1) )$

ottenendo come argomento che cresce come `1/n^(α-2)` per α>2, giusto?
ottenendo:

$\lim_{n \to \infty}tan (1/n^(α-2))*1/tan(1/n^(α-2) )$ = 0*infty

credo che l'approccio sia sbagliato...

[Seneca1]

La strada più semplice mi sembra sia quella di constatare che, per [tex]$n \to \infty$[/tex], si ha:

[tex]$\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $[/tex]

Quindi puoi ricondurti facilmente ai risultati che conosci sulla serie armonica generalizzata.

[marck1806]

ok chiarissimo!!! grazie mille....
quindi in merito all'esercizio posso concludere che la serie converge per α-2>1, quindi per α>3?

[Seneca1]

"marck1806":ok chiarissimo!!! grazie mille....
quindi in merito all'esercizio posso concludere che la serie converge per α-2>1, quindi per α>3?

Sì, esatto. Figurati...

[angeloct90]

scusate se mi intrometto, ma da dove è uscito $\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $

[marck1806]

"Angelo90":scusate se mi intrometto, ma da dove è uscito $\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $

da qui

"Seneca":... per [tex]$n \to \infty$[/tex], si ha:

[tex]$\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $[/tex]

per x "molto grande" le 2 funzioni si "comportano" allo stesso modo

[Seneca1]

"Angelo90":scusate se mi intrometto, ma da dove è uscito $\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $

Conosci la definizione di infinitesimi equivalenti?

[angeloct90]

"Seneca":[quote="Angelo90"]scusate se mi intrometto, ma da dove è uscito $\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $

Conosci la definizione di infinitesimi equivalenti?[/quote]
si la conosco, però non capisco perchè proprio $\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} } $
Non capisco da dove esce il secondo termine

[Seneca1]

[tex]$\tan \frac{n^2}{n^\alpha + 1 } \sim \tan \frac{n^2}{n^\alpha} = \tan \frac{1}{n^{\alpha - 2} } \sim \frac{1}{n^{\alpha - 2} }$[/tex] per [tex]$n \to + \infty$[/tex].

[angeloct90]

ok ho capito...
Grazie mille

[ale.b14]

occhio però che quelle equivalenze asintotiche valgono solo se $a>2$

[angeloct90]

"ale.b":occhio però che quelle equivalenze asintotiche valgono solo se $a>2$

Ok perfetto. Grazie