Problema serie
Salve ragazzi, ho delle difficolta con la risoluzione di alcuni serie facili ( e' l'argomento in sè che non mi è molto chiaro in realtà 
)
In particolare:
$ sumlog(1+1/n) $
Per risolverla avevo pensato anzitutto procedo con il lim n->inf e mi trovo log(1) = 0, quindi la condizione necessaria per la convergenza è confermata..
Successivamente avevo pensasto di confrontarla con la serie log(1/n) la quale sarà sempre più piccola di quella di partenza, ed essendo log (1/n) divergente allora anche la serie di partenza diverge ( una sorta di criterio del confronto adattato ), è corretto procedere in tale maniera?
Analogamente per la serie
$ sumsen(log(1+1/n^2) $
verificata la condizione necessaria;
ho posto tutta la serie la serie converge
)In particolare:
$ sumlog(1+1/n) $
Per risolverla avevo pensato anzitutto procedo con il lim n->inf e mi trovo log(1) = 0, quindi la condizione necessaria per la convergenza è confermata..
Successivamente avevo pensasto di confrontarla con la serie log(1/n) la quale sarà sempre più piccola di quella di partenza, ed essendo log (1/n) divergente allora anche la serie di partenza diverge ( una sorta di criterio del confronto adattato ), è corretto procedere in tale maniera?
Analogamente per la serie
$ sumsen(log(1+1/n^2) $
verificata la condizione necessaria;
ho posto tutta la serie
Risposte
per la prima io avrei detto che $ log(1+1/n) ~ 1/n $ quindi hanno lo stesso carattere e poichè $ 1/n $ diverge allora anche $ log(1+1/n) $ diverge
per la seconda si dovrebbe presentare la stessa situazione cioè $ sin(log(1+1/n^2)) ~ log(1+1/n^2) ~ 1/n^2 $ l'asintoticità è una relazione di equivalenza quindi transitiva ovvero $ sin(log(1+1/n^2)) ~ 1/n^2 $ come detto prima essendo $ a>1 => 1/n^2 $ è convergente quindo lo è anche $ sin(log(1+1/n^2)) $
spero di non aver detto boiate poichè devo dare l'esame (facendo il limite ottengo questo:
$ lim_(n -> +oo) sin(log(1+1/n^2))/log(1+1/n^2)=^{Ho\p\ital} lim_(n->+oo) (-2cos(log(1+1/n^2)))/(n^3+n)*(n^3+n)/-2=cos(log(1+1/n^2) = cos(0) = 1 $ )
aspetto conferma
per la seconda si dovrebbe presentare la stessa situazione cioè $ sin(log(1+1/n^2)) ~ log(1+1/n^2) ~ 1/n^2 $ l'asintoticità è una relazione di equivalenza quindi transitiva ovvero $ sin(log(1+1/n^2)) ~ 1/n^2 $ come detto prima essendo $ a>1 => 1/n^2 $ è convergente quindo lo è anche $ sin(log(1+1/n^2)) $
spero di non aver detto boiate poichè devo dare l'esame (facendo il limite ottengo questo:
$ lim_(n -> +oo) sin(log(1+1/n^2))/log(1+1/n^2)=^{Ho\p\ital} lim_(n->+oo) (-2cos(log(1+1/n^2)))/(n^3+n)*(n^3+n)/-2=cos(log(1+1/n^2) = cos(0) = 1 $ )
aspetto conferma
De l'Hopital evita di usarlo con le successioni, potrebbero crocefiggerti mentre ti arrostiscono, ti scorticano vivo e ti sciolgono in soluzione acida al 45%. 
Per il resto, l'uso del confronto asintotico funziona bene.
Per il resto, l'uso del confronto asintotico funziona bene.
hai ragione...leggendo il tuo commento ho ricordato la faccia della mia profesoressa hihihihi
La considerazione quindi che avevo fatto io era sbagliata?
Era corretto dire invece che è asintoticamente equivalente a 1/n?
Ps: Nel secondo dato che de l'hopital non può essere utilizzato nelle successioni ( se non attraverso l'utilizzo del teorema ponte come mi sembra di aver capito ), come potrei risolvere quel limite dato che ad occhio e croce con i limiti notevoli mi sembra di trovarmi 0/0
Era corretto dire invece che è asintoticamente equivalente a 1/n?
Ps: Nel secondo dato che de l'hopital non può essere utilizzato nelle successioni ( se non attraverso l'utilizzo del teorema ponte come mi sembra di aver capito ), come potrei risolvere quel limite dato che ad occhio e croce con i limiti notevoli mi sembra di trovarmi 0/0
per il primo esercizio io penso che sia corretto il tuo ragionamento
per quanto riguarda il limite io l'ho fatto per vedere se effettivamente era vero che $ f(x) ~ g(x) $
teorema ponte mai sentito...la mia prof si è limitata a dirci che non si può usare perchè non sempre sono soddisfatte le condizioni del teorema e che potevamo usarlo senza dimostrare niente in casi particolari come ad esempio calcolare dove cresce/decrece una successione
per quanto riguarda il limite io l'ho fatto per vedere se effettivamente era vero che $ f(x) ~ g(x) $
teorema ponte mai sentito...la mia prof si è limitata a dirci che non si può usare perchè non sempre sono soddisfatte le condizioni del teorema e che potevamo usarlo senza dimostrare niente in casi particolari come ad esempio calcolare dove cresce/decrece una successione
"andmath":
La considerazione quindi che avevo fatto io era sbagliata?
Era corretto dire invece che è asintoticamente equivalente a 1/n?
Ps: Nel secondo dato che de l'hopital non può essere utilizzato nelle successioni ( se non attraverso l'utilizzo del teorema ponte come mi sembra di aver capito ), come potrei risolvere quel limite dato che ad occhio e croce con i limiti notevoli mi sembra di trovarmi 0/0
Intendi questo $lim_(n -> +oo) sin(log(1+1/n^2))/log(1+1/n^2)$? E' notevole! Se hai una successione infinitesima $a_n$, allora $lim_{n \to +oo} \frac{sin(a_n)}{a_n} = 1$
"Shocker":
[quote="andmath"]La considerazione quindi che avevo fatto io era sbagliata?
Era corretto dire invece che è asintoticamente equivalente a 1/n?
Ps: Nel secondo dato che de l'hopital non può essere utilizzato nelle successioni ( se non attraverso l'utilizzo del teorema ponte come mi sembra di aver capito ), come potrei risolvere quel limite dato che ad occhio e croce con i limiti notevoli mi sembra di trovarmi 0/0
Intendi questo $lim_(n -> +oo) sin(log(1+1/n^2))/log(1+1/n^2)$? E' notevole! Se hai una successione infinitesima $a_n$, allora $lim_{n \to +oo} \frac{sin(a_n)}{a_n} = 1$[/quote]
Giusto!
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