Problema serie
Serie che va da 1 a infinito di : $ log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2)$
Ragazzi potreste darmi un input su come risolvere questa serie , ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco, credo che bisogni fare un confronto con qualcosa ma non mi viene in mente niente, grazie a tutti
Ragazzi potreste darmi un input su come risolvere questa serie , ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco, credo che bisogni fare un confronto con qualcosa ma non mi viene in mente niente, grazie a tutti
Risposte
Portando il log al numeratore scrivendolo come elevato alla meno 1 ottengo $1/(n^2[(log(1 + e^(1/n)))^(-1)])$ che è un particolare tipo di serie armonica generalizzata che converge quando o l'esponente di n è maggiore di 1 oppure se l'esponente di n=1 ma beta è maggiore di 1 ?
Una stima "veloce" è
$\frac{log(1+\sqrt(e^n))}{n^2}~\frac{log(\sqrt(e^n))}{n^2}=\frac{1/2 log(e^n)}{n^2}=\frac{n}{2n^2}=1/(2n)$
asintoticamente questa serie si comporta come una serie divergente. Se quindi dopo 7 anni mi ricordo ancora analisi I, concludo che la serie stessa è divergente.
$\frac{log(1+\sqrt(e^n))}{n^2}~\frac{log(\sqrt(e^n))}{n^2}=\frac{1/2 log(e^n)}{n^2}=\frac{n}{2n^2}=1/(2n)$
asintoticamente questa serie si comporta come una serie divergente. Se quindi dopo 7 anni mi ricordo ancora analisi I, concludo che la serie stessa è divergente.
Grazie per la risposta zero87 , sul calcolatore però mi dice che la serie converge anche se wolfram sulle serie non è molto affidabile , però anche la prof disse che convergeva... 
"abcde12345":
anche se wolfram sulle serie non è molto affidabile
Lo so, ogni tanto ha qualche epic fail, ma a me, ora, dà ragione (non so se esserne felice perché finisce che sbagliamo sia io che wolfram!).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28ln%281%2B\sqrt%28e^n%29%29%29%2F%28n^2%29+n%3D1+to+infinite
Il link l'ho messo "non cliccabile" sulle opzioni del messaggio perché non lo prendeva tutto automaticamente e occorreva comunque selezionarlo per intero.
Inserendo la serie iniziale Wolfram dà la giusta risposta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... o+infinite
C'è un errore nel dire che un qualcosa è circa uguale ad un altro qualcosa... Perché altrimenti i due risultati dovrebbero coincidere :S
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... o+infinite
C'è un errore nel dire che un qualcosa è circa uguale ad un altro qualcosa... Perché altrimenti i due risultati dovrebbero coincidere :S
Ciao
Teniamo conto che: $log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2) ~~ log(e^sqrt(n))/n^2$ per $n->+oo$
Quindi:
$lim_{n->+oo} log(e^sqrt(n))/n^2 = lim_{n->+oo} sqrt(n)*log(e)/n^2 = lim_{n->+oo} 1/n^(3/2) = 0$
Inoltre $3/2 > 1$ quindi la serie converge.
Ragionamento corretto ma il termine della serie è questo: $log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2)$
Spero di non aver sbagliato nulla, ciao
"abcde12345":
Serie che va da 1 a infinito di : $ log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2) $
Teniamo conto che: $log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2) ~~ log(e^sqrt(n))/n^2$ per $n->+oo$
Quindi:
$lim_{n->+oo} log(e^sqrt(n))/n^2 = lim_{n->+oo} sqrt(n)*log(e)/n^2 = lim_{n->+oo} 1/n^(3/2) = 0$
Inoltre $3/2 > 1$ quindi la serie converge.
"Zero87":
Una stima "veloce" è
$ \frac{log(1+\sqrt(e^n))}{n^2}~\frac{log(\sqrt(e^n))}{n^2}=\frac{1/2 log(e^n)}{n^2}=\frac{n}{2n^2}=1/(2n) $
asintoticamente questa serie si comporta come una serie divergente. Se quindi dopo 7 anni mi ricordo ancora analisi I, concludo che la serie stessa è divergente.
Ragionamento corretto ma il termine della serie è questo: $log(1+e^(sqrt(n)))/(n^2)$
Spero di non aver sbagliato nulla, ciao
anche a me viene come a shocker
idem, la serie converge senza dubbi.
Innanzitutto mi scuso per il fraintendimento e cito una parte del primo messaggio che ho scritto in questa discussione
Come si può notare, ho letto male il testo, e cioè
$log(1+\sqrt(e^n))$ invece di $\log(1+e^(\sqrt(n)))$
pensavo che si capisse leggendo anche il controllo che ho fatto su wolfram, ma comunque me ne sono accorto ora, perciò chiedo venia.
Premesso che ero sicuro che la serie fosse proprio quella - ma comunque sto in un periodo di rincogl... ehm, che non sono tanto lucido di mente - per la serie che, a questo punto è l'altra, ho
$\frac{log(1+e^(\sqrt(n)))}{n^2}~\frac{log(e^(\sqrt(n)))}{n^2}=1/(n(\sqrt(n))$
che converge.
Dunque, e stavolta lo dico per la serie giusta, poiché è asintoticamente uguale a una serie convergente, converge anch'essa.
"Zero87":
Una stima "veloce" è
$ \frac{log(1+\sqrt(e^n))}{n^2}~\frac{log(\sqrt(e^n))}{n^2}=$ [...]
Come si può notare, ho letto male il testo, e cioè
$log(1+\sqrt(e^n))$ invece di $\log(1+e^(\sqrt(n)))$
pensavo che si capisse leggendo anche il controllo che ho fatto su wolfram, ma comunque me ne sono accorto ora, perciò chiedo venia.
Premesso che ero sicuro che la serie fosse proprio quella - ma comunque sto in un periodo di rincogl... ehm, che non sono tanto lucido di mente - per la serie che, a questo punto è l'altra, ho
$\frac{log(1+e^(\sqrt(n)))}{n^2}~\frac{log(e^(\sqrt(n)))}{n^2}=1/(n(\sqrt(n))$
che converge.
Dunque, e stavolta lo dico per la serie giusta, poiché è asintoticamente uguale a una serie convergente, converge anch'essa.
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