Problema risoluzione serie

[benna1]

salve a tutti, come da titolo ho un problema nella risoluzione di una serie qui sotto posta $ \sum ((1/n - sin(1/n))^a * (e^(4/e)-1)^-4 ) $ la serie va da 1 ad infinito e devo studiare x quali valori di a la serie converge.

il mio problema piu grosso è capire come ragionare nella prima somma a sx

grazie in anticipo

[Lorin1]

hai provato ad applicare lo sviluppo in serie del seno?

[benna1]

si be io avevo considerato lo sviluppo asintotico: 1/n lo avevo posto 0 e sin (1/n) = 1/n è giusto tutto cio?

[Lorin1]

Se ragioni così ottieni $(1/n-1/n)^a$ e la roba in parentesi non la puoi semplificare perchè sono infinitesimi diversi. Dovresti sviluppare in serie di Taylor il seno.

[benna1]

quindi il $ sin (1/n) $ = $ 1/n - 1/(6x^3) $ ma $ 1/n $ come lo considero cn il confronto asintotico?

[Lorin1]

Si $sin(1/n)=1/n-1/(6n^3)+o(1/n^3)$, ora basta che metti lo sviluppo nel limite e fai un pò di calcoli

[benna1]

perfetto allora mentre 1/n quello che ho sin dall'inizio come mi comporto?

[Lorin1]

se noti quando sostituisci lo sviluppo del seno nel limite, quell' $1/n$ iniziali che avevi va via con un termine dello sviluppo

[benna1]

ma quindi posso applicare il confronto asintotico x certi termini e per altri giusto?

[Lorin1]

Non sto capendo il tuo ragionamento :S
qui devi solo applicare lo sviluppo in serie per il seno e sostituirlo nell'esercizio in modo che ti dovrebbe rimanere solo
$(-1/(6n^3))^a$

[benna1]

sisi ti seguo benissimo x dicevo: in generale dei termini posso lasciarli tali e altri applicare il confronto asintotico? in modo da ottenere forse me piu semplici?

[Lorin1]

si...ma fai attenzione che quello non è un confronto asintotico...

[benna1]

perfetto... comunque ho un'altra domanda: io posso sempre sostituire lo sviluppo di taylor nelle serie?

[Lorin1]

Beh in realtà lo sviluppo lo utilizzi quando studi il limite per la convergenza...e lo puoi applicare solo se ci sono le condizioni per farlo.