Problema risoluzione limite con McLaurin
salve a tutti! oggi in classe il nostro professore ha risolto un limite con lo sviluppo di McLaurin ma non riesco a capire un passaggio..
Il limite è $lim_{x \to \infty} ( \pi /2 - arctg(x) - (1/x^ \alpha)) / (e^(1/x) -1)$
l esercizio inoltre chiedeva prima di trovare la funzione per cui $ \pi /2 - arctg(x)$ fosse asintotica. la funzione è $1/x$
Ora il passaggio dopo è $lim_{x \to \infty} (1/x + o(1/x) - 1/x^ \alpha) / (1/x)$ (che è la funzione asisntotica a $(e^(1/x) -1)$
Volevo sapere...il $ \pi /2$ come mai è sparito???
grazie!
ps= Non è possibile che abbia sostituito la funziona asintotica a $ \pi /2 - arctg(x)$ perchè 1) c'è un o piccolo 2) non si può sostituire funzioni con altre a loro asintotiche su addendi!
giusto?!
Il limite è $lim_{x \to \infty} ( \pi /2 - arctg(x) - (1/x^ \alpha)) / (e^(1/x) -1)$
l esercizio inoltre chiedeva prima di trovare la funzione per cui $ \pi /2 - arctg(x)$ fosse asintotica. la funzione è $1/x$
Ora il passaggio dopo è $lim_{x \to \infty} (1/x + o(1/x) - 1/x^ \alpha) / (1/x)$ (che è la funzione asisntotica a $(e^(1/x) -1)$
Volevo sapere...il $ \pi /2$ come mai è sparito???
grazie!
ps= Non è possibile che abbia sostituito la funziona asintotica a $ \pi /2 - arctg(x)$ perchè 1) c'è un o piccolo 2) non si può sostituire funzioni con altre a loro asintotiche su addendi!
giusto?!
Risposte
devi tenere presente l'uguaglianza
\[\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arctan\frac{1}{x}\]
\[\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arctan\frac{1}{x}\]
Mi aggiungo a Noisemaker: devi anche tenere presente che
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi/2-\arctan x}{1/x}=1$
questo perché la funzione $\pi/2-\arctan x$ è infinitesima per $x\to+\infty$ e il suo ordine di infinitesimo è $1$.
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi/2-\arctan x}{1/x}=1$
questo perché la funzione $\pi/2-\arctan x$ è infinitesima per $x\to+\infty$ e il suo ordine di infinitesimo è $1$.
grazie mille per le velocissime risposte! L uguaglianza me l ero persa...ma il fatto che $ \pi /2 - arctg(x)$ sia asintotico a $ 1/x $ come faccio a utilizzarlo in questo limite? perché le funzioni asintotiche non si possono sostituire in addendi ma solo in fattori di prodotti...
Non si possono sostituire nelle somme se si cancellano: qui non si cancella niente. O meglio, se $\alpha\ne 1$ non si cancella niente. In effetti con $\alpha=1$ bisogna ragionare in modo diverso (ma la cosa è abbastanza immediata, se ci pensi un po').
an! grazie ancora! Il mio professore comunque ha prima sostituito tutto con $ 1/x $ e poi ha ragionato su $ \alpha $!
Ok grazie a tutti!!!
Ok grazie a tutti!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo