Problema risoluzione funzione

[giuseppe.errera]

Salve, qualcuno sa dirmi come poter risolvere la seguente funzione ed i successivi passi?

Immagine esercizio:

Ringrazio tutti per la risposta!

[ciampax]

Bisogna verificare che
1)

[math]f(-1)=f(1)[/math]

(facile)
2) che la funzione sia continua su

[math][-1,1][/math]

(facile anche questo, basta guardare come è fatta la funzione)
3) che la funzione sia derivabile su

[math](-1,1)[/math]

(facile pure questo, ma bisogna guardare in particolare, con la definizione, cosa accade alla derivata per

[math]x=0[/math]

).

[giuseppe.errera]

Mi aiutaresti a fare i vari passi?

[ciampax]

1) Abbiamo

[math]f(1)=(-1+4-1)e^{-1}=2e^{-1},\\ f(-1)=(-1+4-1)e^{-1}=2e^{-1}[/math]

2) La è prodotto di due funzioni: un'esponenziale (che è sempre continua sul suo dominio) e una funzione polinomiale, anch'essa sempre continua. Poiché la funzione valore assoluto è pure essa continua, la funzione originaria risulta continua.

3) Con un ragionamento analogo a prima, la funzione risulta derivabile sul dominio. Tuttavia, bisogna verifica cosa accade nei punti in cui l'argomento del valore assoluto si annulla (poiché, come è noto, la funzione

[math]|x|[/math]

non è derivabile in

[math]x=0[/math]

). Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale destro e sinistro della funzione in

[math]x=0[/math]

. Osserva che quando

[math]h\to 0^+[/math]

allora

[math]|h|=h[/math]

mentre per

[math]h\to 0^-[/math]

si ha

[math]|h|=-h[/math]

. Pertanto:

[math]\lim_{h\to 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{(-h^2+4|h|-1)e^{-|h|}+1}{h}=\\ \lim_{h\to 0^+}\frac{(-h^2+4h)e^{-h}+1-e^{-h}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\left[(4-h)e^{-h}+\frac{e^{-h}-1}{-h}\right]=\\ 4+1=5[/math]

[math]\lim_{h\to 0-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0-}\frac{(-h^2+4|h|-1)e^{-|h|}+1}{h}=\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{(-h^2-4h)e^{h}+1-e^{h}}{h}=\lim_{h\to 0^-}\left[(-4-h)e^{h}-\frac{e^{h}-1}{h}\right]=\\
-4-1=-5[/math]

Poiché i due limiti non coincidono, la funzione presenta in

[math]x=0[/math]

un punto angoloso e pertanto non è derivabile. Il Teorema di Rolle, pertanto, non p verificato.