Problema punti critici
Ciao ragazzi, mi ritrovo ancora a chiedervi aiuto per togliermi dei dubbi che mi tormentano... partiamo da questa funzione.
$f(x,y)=(x^2+y^2-1)e^(-(x^2+y^2))$
Dopo aver notato parità, trovato positività, mi cimento nelle derivate per trovare gli estremi relativi. I punti (controllati con derive) sono questi:
$(0,0)$ $(0,sqrt(2))$ $(0,-sqrt(2))$ $(sqrt(2),0)$ $(-sqrt(2),0)$ $(sqrt(2-y^2),y)$ $(-sqrt(2-y^2),y^2)$
Passando alle derivate seconde si ha:
$(((4x^4-14x^2+4x^2y^2-2y^2+4)/e^(x^2+y^2),(-4xy(3-x^2-y^2))/e^(x^2+y^2)),((-4xy(3-x^2-y^2))/e^(x^2+y^2),(4y^4-14y^2+4x^2y^2-2x^2+4)/e^(x^2+y^2)))$
Ora, utilizzando la regola dei minori, il punto $(0,0)$ è di minimo relativo giusto?
Ma per gli altri punti la matrice ha determinante uguale a $0$, quindi cosa si fa?
La domanda si estende a tutti gli altri casi del determinante e degli autovalori... mi confondo un sacco perchè non ho un vero e proprio schema e non riesco a trovarlo! Quindi se per favore mi aiutate vi ringraziero' all'infinito.
Due ultime cose: come studio gli ultimi due punti in cui compare la y variabile? E per trovare gli estremi assoluti in una funzione del genere definita per tutte le x e y, devo solo confrontare i relativi? >-< me confusoooooo
$f(x,y)=(x^2+y^2-1)e^(-(x^2+y^2))$
Dopo aver notato parità, trovato positività, mi cimento nelle derivate per trovare gli estremi relativi. I punti (controllati con derive) sono questi:
$(0,0)$ $(0,sqrt(2))$ $(0,-sqrt(2))$ $(sqrt(2),0)$ $(-sqrt(2),0)$ $(sqrt(2-y^2),y)$ $(-sqrt(2-y^2),y^2)$
Passando alle derivate seconde si ha:
$(((4x^4-14x^2+4x^2y^2-2y^2+4)/e^(x^2+y^2),(-4xy(3-x^2-y^2))/e^(x^2+y^2)),((-4xy(3-x^2-y^2))/e^(x^2+y^2),(4y^4-14y^2+4x^2y^2-2x^2+4)/e^(x^2+y^2)))$
Ora, utilizzando la regola dei minori, il punto $(0,0)$ è di minimo relativo giusto?
Ma per gli altri punti la matrice ha determinante uguale a $0$, quindi cosa si fa?
La domanda si estende a tutti gli altri casi del determinante e degli autovalori... mi confondo un sacco perchè non ho un vero e proprio schema e non riesco a trovarlo! Quindi se per favore mi aiutate vi ringraziero' all'infinito.
Due ultime cose: come studio gli ultimi due punti in cui compare la y variabile? E per trovare gli estremi assoluti in una funzione del genere definita per tutte le x e y, devo solo confrontare i relativi? >-< me confusoooooo
Risposte
C'è una cosa che non capisco: se il gradiente è
$\nabla f=e^{-(x^2+y^2)}\cdot(2x(1-x^2-y^2+1),2y(1-x^2-y^2+1))$
questo ti dice che i punti stazionari si hanno per
$(0,0),\ (0,\pm\sqrt{2}),\ (\pm\sqrt{2},0)$, mentre imporre che $x^2+y^2-2=0$ ti direbbe che tutti i punti della circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ sono stazionari. Questo vuol dire che, su tale circonferenza, dovrai cercare in un certo senso dei punti di massimo e minimo vincolati.
A questo punto per l'Hessiano
$H(x,y)=2e^{-(x^2+y^2)}\cdot((2x^4+2x^2 y^2-7x^2-y^2+2, 2xy(x^2+y^2-3)),( 2xy(x^2+y^2-3), 2y^4+2x^2 y^2-7y^2-x^2+2))$
e si ha per il determinante $\det H(0,0)=16$, $\det H(0,\pm\sqrt{2})=0$, $\det H(\pm\sqrt{2},0)=0$, mentre sulla curva data prima ottieni che
$f(x,y)|_{x^2+y^2-2=0}=1*e^{-2}=e^{-2}$ e cioè la tua funzione risulta costante su essa. Se ora passi a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ ottieni la funzione
$g(\rho)=(\rho^2-1) e^{-\rho^2}$ e studiare i massimi e minimi di questa equivale a studiare i massimi e minimi della funzione originale (per le questioni di simmetria viste prima da te). Ma allora
$g'(\rho)=2\rho e^{-\rho^2}(2-\rho^2)$
da cui deduci che o $\rho=0$ (e coincide con l'origine) oppure $\rho=\sqrt{2}$ e quindi prendi tutti i punti sulla circonferenza centrata nell'origine e di tale raggio. Se studi il segno di questa derivata ti convinci che in $\rho=0$ c'è un minimo e in $\rho=\sqrt{2}$ c'è un massimo.
Ne puoi dedurre quanto segue: poiché i punti $(0,\pm\sqrt{2})$ e $(\pm\sqrt{2},0)$ appartengono alla curva e tutti i suoi punti risultano punti di massimo (aasoluto) per la tua funzione. Invece il punto $(0,0)$ in cui l'hessiano è positivo risulta un punto di minimo (ed in particolare di minimo assoluto, e vale $f(0,0)=-1$.
Spero di essere stato chiaro.
$\nabla f=e^{-(x^2+y^2)}\cdot(2x(1-x^2-y^2+1),2y(1-x^2-y^2+1))$
questo ti dice che i punti stazionari si hanno per
$(0,0),\ (0,\pm\sqrt{2}),\ (\pm\sqrt{2},0)$, mentre imporre che $x^2+y^2-2=0$ ti direbbe che tutti i punti della circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ sono stazionari. Questo vuol dire che, su tale circonferenza, dovrai cercare in un certo senso dei punti di massimo e minimo vincolati.
A questo punto per l'Hessiano
$H(x,y)=2e^{-(x^2+y^2)}\cdot((2x^4+2x^2 y^2-7x^2-y^2+2, 2xy(x^2+y^2-3)),( 2xy(x^2+y^2-3), 2y^4+2x^2 y^2-7y^2-x^2+2))$
e si ha per il determinante $\det H(0,0)=16$, $\det H(0,\pm\sqrt{2})=0$, $\det H(\pm\sqrt{2},0)=0$, mentre sulla curva data prima ottieni che
$f(x,y)|_{x^2+y^2-2=0}=1*e^{-2}=e^{-2}$ e cioè la tua funzione risulta costante su essa. Se ora passi a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ ottieni la funzione
$g(\rho)=(\rho^2-1) e^{-\rho^2}$ e studiare i massimi e minimi di questa equivale a studiare i massimi e minimi della funzione originale (per le questioni di simmetria viste prima da te). Ma allora
$g'(\rho)=2\rho e^{-\rho^2}(2-\rho^2)$
da cui deduci che o $\rho=0$ (e coincide con l'origine) oppure $\rho=\sqrt{2}$ e quindi prendi tutti i punti sulla circonferenza centrata nell'origine e di tale raggio. Se studi il segno di questa derivata ti convinci che in $\rho=0$ c'è un minimo e in $\rho=\sqrt{2}$ c'è un massimo.
Ne puoi dedurre quanto segue: poiché i punti $(0,\pm\sqrt{2})$ e $(\pm\sqrt{2},0)$ appartengono alla curva e tutti i suoi punti risultano punti di massimo (aasoluto) per la tua funzione. Invece il punto $(0,0)$ in cui l'hessiano è positivo risulta un punto di minimo (ed in particolare di minimo assoluto, e vale $f(0,0)=-1$.
Spero di essere stato chiaro.
Ma quindi potevo studiare direttamente la funzione in coord polari?? E il discorso sulla circonferenza su cui la f è costante devo farlo o puo' essere omesso?
Un'ultima cosa, per passare nuovamente a coordinate cartesiane, avendo il valore di ro per cui la funzione assume max e min relativi, lo sostituiamo alla $x$ e $y$ scritte in polari, imponiamo i valori di teta per cui si ha il valore max e troviamo le coord cartesiane? Se questo è giusto come ragionamento, allora devo fare il discorso per un max (ad esempio $sqrt2$) e sostituirlo prima alla x per trovare il valore del coseno max, e poi alla y con il seno massimo? (avendo così due punti, ($(sqrt2,0) (0,sqrt2)$).
Un'ultima cosa, per passare nuovamente a coordinate cartesiane, avendo il valore di ro per cui la funzione assume max e min relativi, lo sostituiamo alla $x$ e $y$ scritte in polari, imponiamo i valori di teta per cui si ha il valore max e troviamo le coord cartesiane? Se questo è giusto come ragionamento, allora devo fare il discorso per un max (ad esempio $sqrt2$) e sostituirlo prima alla x per trovare il valore del coseno max, e poi alla y con il seno massimo? (avendo così due punti, ($(sqrt2,0) (0,sqrt2)$).
Se avessi studiato sin dall'inizio in coordinate polari, ti saresti accorto che la simmetria della funzione non è solo rispetto agli assi ma è di tipo radiale: ciò vuol dire che la funzione si comporta sempre nello stesso modo per tutti i punti $(x,y)$ appartenenti ad una circonferenza fissata. Il fatto che trovi un valore di $\rho$ per cui hai punti di massimo e minimo vuol dire che, indipendentemente dal valore di $\theta$, qualsiasi punto $(x,y)$ tale che $x^2+y^2=\rho^2$ è un massimo o un minimo. Chiaro?
"Aryma":
$f(x,y)=(x^2+y^2-1)e^(-(x^2+y^2))$
Altro modo di vedere quanto detto da ciampax:
visto che $f(x,y) = g ( h(x,y))$, con $h(x,y) = x^2 + y^2$ e $g(t) = (t-1) e^{-t}$, puoi studiare cosa fa la $g$ e poi deduci da qui il comportamento di $f$.
Sia chiaro, è sostanzialmente la stessa cosa proposta da ciampax, solo vista un po' diversamente.
Sarò un po' tardo ma non riesco a trarne le conclusioni... T_T
Ammettiamo di passare in coordinate polari fin dall'inizio, senza influenza del gradiente hessiana o altro.
Ottengo i due punti $ρ=0$ e $ρ=sqrt2$ ok?
Se, come dite voi, che si passi ad una $h(t)$ o in coordinate polari, si ottengono queste due serie di punti
$x^2+y^2=2$
$x^2+y^2=0$ (che poi è solo un punto no? $(0,0)$
Allora i punti di massimo sono più di quelli trovati studiando il gradiente giusto? Quindi stavo saltando punti...
Ma allora facendo così, io dico che tutti i punti su quella circonferenza sono di max assoluto direttamente? (non mi è chiaro anche questo perche di solito il prof in aula faceva trovare gli estremi assoluti confrontandoli con quelli di una frontiera... ma qui non abbiamo un "recinto"
)
Ammettiamo di passare in coordinate polari fin dall'inizio, senza influenza del gradiente hessiana o altro.
Ottengo i due punti $ρ=0$ e $ρ=sqrt2$ ok?
Se, come dite voi, che si passi ad una $h(t)$ o in coordinate polari, si ottengono queste due serie di punti
$x^2+y^2=2$
$x^2+y^2=0$ (che poi è solo un punto no? $(0,0)$
Allora i punti di massimo sono più di quelli trovati studiando il gradiente giusto? Quindi stavo saltando punti...
Ma allora facendo così, io dico che tutti i punti su quella circonferenza sono di max assoluto direttamente? (non mi è chiaro anche questo perche di solito il prof in aula faceva trovare gli estremi assoluti confrontandoli con quelli di una frontiera... ma qui non abbiamo un "recinto"
)
Puoi dire che sono punti di massimo perché lo sono quelli della funzione $g(\rho)$ che ti ho scritto io. Mi sa che il tuo problema è quello di non riuscire a visualizzare la situazione: quando hai simmetria radiale, questo vuol dire sostanzialmente che la superficie da te studiata si ottiene prendendo una curva nello spazio e facendola ruotare attorno ad un asse. Ecco perché in questo caso tutti i punti della circonferenza ottenuta risultano di massimo: vengono ottenuti come rotazione del massimo della funzione $g(\rho)$. Ora è più chiaro? Anche perché meglio di così, non te lo so proprio spiegare! 
OK chiaro
Resta pero' una domanda nella mia mente... specie perchè sto facendo esercizi a ruota in vista dell'imminente esame!!
Allora, intanto riassumo quello che penso di sapere.
MAX relativo = determinante hessiana positivo, autovalori negativi.
min relativo= det positivo, autovalori positivi.
sella= autovalori misti
Mi restano i casi det < 0 e det = 0. Poco fa, ad esempio ho studiato comunque gli autovalori di una funzione in un punto in cui il det era negativo, ed è venuto di massimo, succede? Please heeelp
PS: grazie ciampax
Resta pero' una domanda nella mia mente... specie perchè sto facendo esercizi a ruota in vista dell'imminente esame!!
Allora, intanto riassumo quello che penso di sapere.
MAX relativo = determinante hessiana positivo, autovalori negativi.
min relativo= det positivo, autovalori positivi.
sella= autovalori misti
Mi restano i casi det < 0 e det = 0. Poco fa, ad esempio ho studiato comunque gli autovalori di una funzione in un punto in cui il det era negativo, ed è venuto di massimo, succede? Please heeelp
PS: grazie ciampax
Sulla natura dei punti critici ad hessiano nullo di solito non si può dire nulla; ad esempio, $(x^2+y^2)^2, -(x^2+y^2)^2, x^4-y^4$ hanno un punto critico ad hessiano nullo in $(0,0)$, epperò la prima vi ha un minimo, la seconda un massimo e la terza una sella.
Se invece l'hessiano in un punto critico è $<0$, allora la matrice hessiana è indefinita e il punto non è né di massimo né di minimo.
Se invece l'hessiano in un punto critico è $<0$, allora la matrice hessiana è indefinita e il punto non è né di massimo né di minimo.
Ok ora è più chiaro. Per quegli esercizi di Gugo io avrei ristretto a $x=0$ e successivamente $y=0$ la funzione, per trovare il segno della stessa in un intorno del punto (che tra l'altro annulla la f), altrimenti non ho altri metodi dettati dal prof (questo stesso è stato escogitato tra colleghi e approvato da lui stesso) se non fosse possibile fare altro...
Comunque scusate le domande incessanti studio fuori sede e mi siete di grande aiutoooo
Resta l'arcano mistero del det negativo e degli autovalori positivi facendo pensare ad un punto di minimo relativo (il prof stesso trova sempre gli autovalori perchè non abbiamo studiato nessun teorema che dimostra che il punto sostanzialmente non è di estremo se il det dell'hessiana è negativo - parole sue)
Comunque scusate le domande incessanti
studio fuori sede e mi siete di grande aiutoooo Resta l'arcano mistero del det negativo e degli autovalori positivi facendo pensare ad un punto di minimo relativo (il prof stesso trova sempre gli autovalori perchè non abbiamo studiato nessun teorema che dimostra che il punto sostanzialmente non è di estremo se il det dell'hessiana è negativo - parole sue)
"Aryma":
Resta l'arcano mistero del det negativo e degli autovalori positivi facendo pensare ad un punto di minimo relativo (il prof stesso trova sempre gli autovalori perchè non abbiamo studiato nessun teorema che dimostra che il punto sostanzialmente non è di estremo se il det dell'hessiana è negativo - parole sue)
Beh - se il determinante di una matrice e' negativo questa non puo' avere tutti gli autovalori positivi e quindi non puo' corrispondere a un minimo.
Tieni presente che "tutti gli autovalori positivi (risp. negativi)" implica "punto di minimo" (risp. punto di massimo).
Dato che il determinante della matrice e' il prodotto di tutti gli autovalori questo ti da' delle informazioni, ma non ti dice tutto.
Puo' per esempio capitare che il determinante sia negativo e che si abbia un massimo - questo in dimensione dispari, dato che il prodotto di un numero dispari di numeri negativi
e' negativo (per esempio in una vatiabile se la derivata seconda e' negativa allora il punto e' di max). Invece se la dimensione e' pari (per esempio in $RR^2$ e il determinante
e' negativo allora il punto e' di sella.
Esempio:
$Hf(2,2)=((6,-4),(-4,2))$
Sella giusto? Pero' a questo punto non so cosa scrivere per dimostrarlo dati i mezzi (altrimenti l'orale si complica...)
$Hf(2,2)=((6,-4),(-4,2))$
Sella giusto? Pero' a questo punto non so cosa scrivere per dimostrarlo dati i mezzi (altrimenti l'orale si complica...)
"Aryma":
Esempio:
$Hf(2,2)=((6,-4),(-4,2))$
Potresti riportare anche la funzione?
"Aryma":
Esempio:
$Hf(2,2)=((6,-4),(-4,2))$
Sella giusto? Pero' a questo punto non so cosa scrivere per dimostrarlo dati i mezzi (altrimenti l'orale si complica...)
Giusto
La matrice e' 2x2 e il suo determinante e' negativo (-4). Quindi i due autovalori sono discordi.
E comunque non e' poi cosi' difficile trovare le radici del polinomio caratteristico (che e' $P(\lambda)=(6-\lambda)(2-\lambda)-16$ ...
Sapete che vi dico? che sono uno scemo e meglio ricontrollare le stregonerie che si scrivono il $-8λ$ per me era un $+8λ$, ma nel passaggio sopra tutti i segni erano giusti quindi scusate ora è tutto chiaro
Grassie milleeeeeeee
il $-8λ$ per me era un $+8λ$, ma nel passaggio sopra tutti i segni erano giusti quindi scusate ora è tutto chiaro Grassie milleeeeeeee
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