Problema Principio di Induzione

[nico1983]

Ciao a tutti,

ho un po di problemi a capire il principio di induzione, al momento sto cercado di svolgere questo esercizio:

In quante regioni il piano risulta suddiviso da n rette a due a due intersecantesi?

Considerato che: r(0) = 1, r(1) = 2, r(2) = 4

In base al principio di induzione si puo' determinare che

1) r(n) = r(n-1) + n , di conseguenza

2) r(n+1) = r(n) + n + 1


L'esercizio richiedere di esprimere in forma chiusa l'espressione 1) in modo che si possa esprimere direttamente r(n) in funzione di n.

Applicando la formula 1)..

r(0) = 1,
r(1) = r(0) + 1,
r(2) = r(1) + 2,
. . . . . . . . . . . .
r(n-1) = r(n-2) + n-1,
r(n) = r(n-1) + n.

Sommando membro a membro le uguaglianze e elimininando i termini in comune si dovrebbe avere alla fine (soluzione dell' esercizio)

r(n) = 1 + n(n + 1)/2


Io pero' non riesco a dimostrarlo e di sicuro sbaglio perche ' ritrovo alla uguaglianza

r(2) + r(n) = 1 + 1 + 2 + r(n-2)+(n-1) +n


Qualcuno sa spiegarmi l'errore che faccio?

Grazie a tutti

[Ziben]

Ciao,
non capisco perché ti rimanga $r(2) a sinistra del tuo risultato$. Comunque, sommando membro a membro:

$r(0)+r(1)+r(2) + \cdots + r(n-1)+r(n) = 1+r(0)+1+r(1)+2+r(2)+3+ \cdots + r(n-1)+ n$

$r(0)+r(1)+r(2) + \cdots + r(n-1)+r(n) = r(0) + r(1)+r(2)+ \cdots + r(n-1) + 1+ 1+2 + \cdots + n$

$r(n) = 1 + \sum_(k=1)^(n) k = 1+ (n(n+1))/2$