Problema ODE
Salve a tutti ragazzi! Mi trovo davanti un esercizio che non riesco a risolvere... ho provato tante strade ma non sono arrivato a nulla! 
Considero l'equazione:
$ ( 1-x^2 )ddot{u}-xdot{u}+f(u(x))=0 $
$ x in ((-1,1)) $ , $ f in C^0( RR )$
Devo determinare l'equazione risolta da $ v(t)=u(sin(t)) $ ... Mi dareste una dritta?? Non so da dove cominciare
...
Grazie mille!
Considero l'equazione:
$ ( 1-x^2 )ddot{u}-xdot{u}+f(u(x))=0 $
$ x in ((-1,1)) $ , $ f in C^0( RR )$
Devo determinare l'equazione risolta da $ v(t)=u(sin(t)) $ ... Mi dareste una dritta?? Non so da dove cominciare
...Grazie mille!
Risposte
Basta calcolare \(v''(t)\) e poi sostituire.
Avevo già provato.. ma continuo a non vedere il nesso.. 
Calcolo le varie derivate, vedo qualche analogia con l'equazione... ma non capisco come usare tutto questo per estrarre una relazione decente...
Calcolo le varie derivate, vedo qualche analogia con l'equazione... ma non capisco come usare tutto questo per estrarre una relazione decente...
\[
v''(t) = (1-\sin^2 t)u''(\sin t) - u'(\sin t) \sin t \,.
\]
Per visualizzare meglio, pensa ora \(x = \sin t\).
v''(t) = (1-\sin^2 t)u''(\sin t) - u'(\sin t) \sin t \,.
\]
Per visualizzare meglio, pensa ora \(x = \sin t\).
Sisi, l'analogia con l'equazione iniziale, l'avevo vista! Quindi in sostanza per legarmi all'equazione dovrei scrivere:
$ (1-sin^2t)ddot{u}(sint)-dot(u)(sint)sint+f(u(sint)) $
e quindi:
$ ddot{v}(t)+f(v(t))=0 $
Nell'esercizio non è specificato, però immagino che $ x $ sia fissato tra -1 e 1 e anche se il seno varia, la relazione resta valida.. Quanto a far variare $ u $ tramite $sint$ non da problemi? Mi riduco all'intervallo -1, 1 e cambia la velocità di evoluzione del tempo ma siamo sempre li vero?
$ (1-sin^2t)ddot{u}(sint)-dot(u)(sint)sint+f(u(sint)) $
e quindi:
$ ddot{v}(t)+f(v(t))=0 $
Nell'esercizio non è specificato, però immagino che $ x $ sia fissato tra -1 e 1 e anche se il seno varia, la relazione resta valida.. Quanto a far variare $ u $ tramite $sint$ non da problemi? Mi riduco all'intervallo -1, 1 e cambia la velocità di evoluzione del tempo ma siamo sempre li vero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo