Problema numeri complessi

[Ster24]

Buongiorno a tutti! Dato il seguente problema: $coiugate(z)^-4=|z|$ , esiste un strada più semplice e immediata alla classica sostituzione $z=a+ib$ ? Se sì, come? Sto provando a riscrivere il tuo sotto la forma esponenziale, ottenendo così: $r^(4)e^(-i4θ)-r=0$ , ho sbagliato?

Grazie mille anticipatamente!

[pilloeffe]

Ciao Ster24,

"Ster24":ho sbagliato?

Sì. Procedendo come hai scritto si ha:

$ r^5 e^{-4i\theta} = 1 $

Da cui $r = 1 $ e $ - 4\theta = 2k\pi \implies \theta = k\pi/2$, $ k = 0, 1, 2, 3 $.
Pertanto le quattro soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:

$z_0 = 1 $
$z_1 = 1 e^{i\pi/2} = i $
$z_2 = 1 e^{i \pi} = - 1 $
$z_3 = 1 e^{i3\pi/2} = - i $

[Ster24]

Ciao, non dovrebbe essere $r^3$ ? Grazie per avermi risposto.

[pilloeffe]

"Ster24":Grazie per avermi risposto.

Prego.

"Ster24":non dovrebbe essere $r^3 $?

Direi di no, a meno che non abbia male interpretato l'equazione proposta, che ho inteso essere la seguente:

$(\bar{z})^{- 4} = |z| \implies 1/(\bar{z})^4 = |z| $

Ora considerando $z = r e^{i\theta} \implies \bar{z} = r e^{-i\theta} \implies |z| = r $, si ha:

$1/(r^4 e^{-i4\theta}) = r \implies r^5 e^{-i4\theta} = 1 $