Problema numeri complessi

[Ster24]

Buon Sabato sera a tutti! Sto riscontrando problemi con un esercizio sui numeri complessi, non riesco a capire dove sbaglio. La traccia chiede di scrivere in forma algebrica le soluzioni della seguente equazione nel campo complesso: $2|z|^2=z^3$



Ho confrontato il risultato con wolfram.
Grazie mille anticipatamente e cordiali saluti.

[marco.ruggiero]

Nel dividere per $x+iy$ devi supporre che sia $x+iy!=0<=>x!=0$ o $y!=0$; prima di fare ciò devi verificare se $z=0$ è o meno soluzione dell'equazione. Nella settima riga, è $xy$ e non $-xy$. Nel sistema inoltre, hai dimenticato il $2$ davanti alla $y$. Riprova con queste correzioni.

[gugo82]

Ragiona un po’ sul problema.

Innanzitutto, osserva che $z =0$ è soluzione, dunque basta cercare le soluzioni $!=0$.
Passando ai moduli trovi $2rho^2 = rho^3 => rho = 2$, sicché $z = 2 e^(i theta)$ e sostituendo ottieni $e^(i 3theta) = 1$, quindi $e^(itheta)$ è una radice cubica dell’unità. Quindi $z=z_k = 2cos((2 k pi)/3) + i 2 sin( (2 k pi)/3)$ per $k=0,1,2$.