Problema neumann?

[Nuvolabianca1]

Salve a tutti!!!

non riesco a capire come svolgere questo esercizio.

Determinare le funzioni u di classe $C^2 (RR^n) $ $n>=2$ della forma \(u(x) = g( \lVert x \rVert)^\alpha \)
con $x in RR^n$ $\alpha >1$ e tali che
\( \Delta u(x) =\lVert x \rVert^{2\alpha - 1} \) in $B_n$ palla unitaria di $RR^n$

un indizio su come iniziare?

[ciampax]

Ma la $\alpha$ nella definizione della $u$ sta fuori o dentro? In ogni caso, per come sono definite le $u$, esse risultano radiali, cioè dipendono dalla sola distanza del punto $x$ dall'origine. E' un esercizio abbastanza semplice (Gugo lo definirebbe di Analisi 1.5, io lo definisco di Analisi $1+\epsilon$) quello di operare la sostituzione $r=||x||$ e determinare le derivate parziali della funzione $U(r)=g(r)^\alpha$ (o $g(r^\alpha)$, non so, dipende da dove sta quella $\alpha$ - che poi sarebbe la tua $u(x)$) per capire a cosa equivale il Laplaciano. Ti riconduci, alla fine, ad una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine nell'incognita $g$ con variabile indipendente $r$, e questo ti permette di determinare la forma generale della funzione $g$ da scegliere.