Problema nel sistema esercizio moltiplicatori di Lagange
Buon giorno, ho un problema nella risoluzione di questo esercizio sui moltiplicatori di lagrange per questo esercizio:
Si trovinoi valori di massimo e di minimo assoluto della funzione $g(x,y)=x^2+y^2$ sull'ellisse $S={4x^2+9y^2=1}$ usando il metodo dei moltiplicatori di Lagange. Si giustifichi il risultato ottenuto studiando le curve di livello della funzione g.
Per iniziare ho eguagliato il gradiente della funzione con il gradiente del vincolo moltiplicato per la costante di lagrange scrivendo il sistema:
$\{(2x=8 \lambda x),(2y=18 \lambda y),(4x^2+9y^2=1):}$
Da questo sistema mi sembra che $\lambda$ sia diversa, non so calcolare le soluzioni.
Con wolfram alpha ho visto che massimi sono $(1/2,0)$, $(-1/2,0)$ e i minimi sono $(0,1/3)$ e $(0,-1/3)$.
L'altro problema è come dimostrarlo con le curve di livella della funzione. Se non ho capito male dovrebbero essere circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio $sqrt(c)$, ma come i dimostra che sono quelli gli estremi? Le curve di livello del vincolo dovrebbero essere ellissi di assi $sqrt(c)$ e $[2*sqrt(c)]/3$.
Grazie in anticipo a chiunque risponda.
Si trovinoi valori di massimo e di minimo assoluto della funzione $g(x,y)=x^2+y^2$ sull'ellisse $S={4x^2+9y^2=1}$ usando il metodo dei moltiplicatori di Lagange. Si giustifichi il risultato ottenuto studiando le curve di livello della funzione g.
Per iniziare ho eguagliato il gradiente della funzione con il gradiente del vincolo moltiplicato per la costante di lagrange scrivendo il sistema:
$\{(2x=8 \lambda x),(2y=18 \lambda y),(4x^2+9y^2=1):}$
Da questo sistema mi sembra che $\lambda$ sia diversa, non so calcolare le soluzioni.
Con wolfram alpha ho visto che massimi sono $(1/2,0)$, $(-1/2,0)$ e i minimi sono $(0,1/3)$ e $(0,-1/3)$.
L'altro problema è come dimostrarlo con le curve di livella della funzione. Se non ho capito male dovrebbero essere circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio $sqrt(c)$, ma come i dimostra che sono quelli gli estremi? Le curve di livello del vincolo dovrebbero essere ellissi di assi $sqrt(c)$ e $[2*sqrt(c)]/3$.
Grazie in anticipo a chiunque risponda.
Risposte
il sistema si può scrivere nella forma $ { ( x(1+4lambda)=0 ),( y(1+9lambda)=0 ),( 4x^2+9y^2-1=0 ):} $
che ha come soluzioni
1) $x=0; y =+-1/3;lamda=-1/9$
2)$y=0;x=+-1/2;lambda=-1/4$
la linea di livello $x^2+y^2=c$ interseca l'ellisse se,e solo se,$1/9leqcleq1/4$,il che vuol dire che il minimo assoluto della funzione sull'ellisse è $1/9$ ed il suo massimo assoluto è $1/4$
per $c=1/9$ la curva di livello è tangente internamente all'ellisse nei punti $(0,-1/3);(0,1/3)$
per $c=1/4$ la curva di livello è tangente esternamente al'ellisse nei punti $(-1/2,0);(1/2,0)$
che ha come soluzioni
1) $x=0; y =+-1/3;lamda=-1/9$
2)$y=0;x=+-1/2;lambda=-1/4$
la linea di livello $x^2+y^2=c$ interseca l'ellisse se,e solo se,$1/9leqcleq1/4$,il che vuol dire che il minimo assoluto della funzione sull'ellisse è $1/9$ ed il suo massimo assoluto è $1/4$
per $c=1/9$ la curva di livello è tangente internamente all'ellisse nei punti $(0,-1/3);(0,1/3)$
per $c=1/4$ la curva di livello è tangente esternamente al'ellisse nei punti $(-1/2,0);(1/2,0)$
Grazie per la soluzione del sistema! Era così ovvio ma ci stavo diventando matto.
Mi rimane però un dubbio sul moltiplicatore di Lagrange. Nei vari esercizi che ho fatto mi era sempre capitato che il valore fosse unico e non che avesse due soluzioni. Forse mi sto sbagliando io, ma quindi questo moltiplicatore cosa rappresenta? Nel dispense del mio professsore e su qualche sito che ho guardato su viene semplicemente messo lì per definizione. Dunque non capisco perchè c debba essere compreso tra i valori che assume $\lambda$
Mi rimane però un dubbio sul moltiplicatore di Lagrange. Nei vari esercizi che ho fatto mi era sempre capitato che il valore fosse unico e non che avesse due soluzioni. Forse mi sto sbagliando io, ma quindi questo moltiplicatore cosa rappresenta? Nel dispense del mio professsore e su qualche sito che ho guardato su viene semplicemente messo lì per definizione. Dunque non capisco perchè c debba essere compreso tra i valori che assume $\lambda$
Ho riletto bene il post a distanza di tempo, ho capito qualcosa in più ma mi rimane il dubbio su questa frase:
Come calcolo i valori c per cui si intersecano le linee di livello e l'ellisse? Faccio un sistema delle due equazioni e poi impongo x=0 e y=0?
"quantunquemente":
la linea di livello $x^2+y^2=c$ interseca l'ellisse se,e solo se,$1/9leqcleq1/4$
Come calcolo i valori c per cui si intersecano le linee di livello e l'ellisse? Faccio un sistema delle due equazioni e poi impongo x=0 e y=0?
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