Problema nel disegnare una circonferenza date due equazioni
Ciao a tutti,
lo so che è una cavolata, ma mi interesserebbe capire bene cosa sto facendo.
Posso andare avanti per automatismo, ma non mi sta bene.
Ho una curva $\gamma$ definita come segue:
$x(t)=1 + 2 cos t$
$y(t)=2 sin t$
Ok, la curva è la circonferenza di raggio 2 e centro (1,0), solo che mi è capitato di rivedere un esercizio che chiedeva di disegnare questa curva e di primo impatto non mi ricordavo che fosse una semplice circonferenza. In caso di nuova amnesia, come posso fare per ricavarmi la curva che mi serve?
lo so che è una cavolata, ma mi interesserebbe capire bene cosa sto facendo.
Posso andare avanti per automatismo, ma non mi sta bene.
Ho una curva $\gamma$ definita come segue:
$x(t)=1 + 2 cos t$
$y(t)=2 sin t$
Ok, la curva è la circonferenza di raggio 2 e centro (1,0), solo che mi è capitato di rivedere un esercizio che chiedeva di disegnare questa curva e di primo impatto non mi ricordavo che fosse una semplice circonferenza. In caso di nuova amnesia, come posso fare per ricavarmi la curva che mi serve?
Risposte
E' sufficiente procedere per sostituzione... Dalla seconda equazione del sistema ti ricavi $sint=y/2$, per cui la prima diventa $x-1=2sqrt(1-y^2/4)$, elevando al quadrato arrivi alla forma $x^2+y^2-2x-3$ sicuramente più familiare...
"maurer":
E' sufficiente procedere per sostituzione... Dalla seconda equazione del sistema ti ricavi $sint=y/2$, per cui la prima diventa $x-1=2sqrt(1-y^2/4)$, elevando al quadrato arrivi alla forma $x^2+y^2-2x-3$ sicuramente più familiare...
Più semplice:
$\{ (x-1 = 2 \cos t) ,(),(),(), (y = 2 \sin t) :}$
sommando i quadrati ottieni:
$(x-1)^2 + y^2 = 2^2 \cdot (\cos^2 t + \sin^2 t )$
$(x-1)^2 + y^2 = 4$
questa è l'equazione cartesiana della circonferenza.
Il metodo va bene anche per le ellissi:
$\{ (x = x_0 + A \cos t), (),(),(), (y = y_0 + B \sin t) :}$
si ottiene:
$((x-x_0)/A)^2 + ((y-y_0)/B)^2 = 1$
Grazie mille...
Più chiaro di così non si può!
Più chiaro di così non si può!
"franced":
Più semplice:
$\{ (x-1 = 2 \cos t) ,(),(),(), (y = 2 \sin t) :}$
sommando i quadrati ottieni:
$(x-1)^2 + y^2 = 2^2 \cdot (\cos^2 t + \sin^2 t )$
$(x-1)^2 + y^2 = 4$
questa è l'equazione cartesiana della circonferenza.
Perfetto!
Grazie anche a te.
Ora non penso che mi sbaglierò più, visto che quello che mi serve è proprio avere una circonferenza nella forma
$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2$
Generalizziamo:
data l'equazione
$\{ (x = x_0 + A \cos t + B \sin t),(),(),(),(), (y = y_0 + C \cos t + D \sin t) :}$
è possibile scrivere l'equazione cartesiana implicita della curva.
Vediamo ora in che modo:
ricaviamoci $\cos t$ e $\sin t$, sotto l'ipotesi $AD-BC \ne 0$
$((x-x_0),(y-y_0)) = ((A,B),(C,D)) ((\cos t),(\sin t))$ da cui $((\cos t),(\sin t)) = ((A,B),(C,D))^(-1) ((x-x_0),(y-y_0)) $
$((\cos t),(\sin t)) = 1/(AD-BC) ((D,-B),(-C,A)) ((x-x_0),(y-y_0))$
dalla relazione $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ si ricava:
$1/((AD-BC)^2) {[D (x-x_0) - B (y-y_0)]^2 + [-C(x-x_0)+A(y-y_0)]^2} = 1$
è l'equazione cartesiana dell'ellisse.
data l'equazione
$\{ (x = x_0 + A \cos t + B \sin t),(),(),(),(), (y = y_0 + C \cos t + D \sin t) :}$
è possibile scrivere l'equazione cartesiana implicita della curva.
Vediamo ora in che modo:
ricaviamoci $\cos t$ e $\sin t$, sotto l'ipotesi $AD-BC \ne 0$
$((x-x_0),(y-y_0)) = ((A,B),(C,D)) ((\cos t),(\sin t))$ da cui $((\cos t),(\sin t)) = ((A,B),(C,D))^(-1) ((x-x_0),(y-y_0)) $
$((\cos t),(\sin t)) = 1/(AD-BC) ((D,-B),(-C,A)) ((x-x_0),(y-y_0))$
dalla relazione $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ si ricava:
$1/((AD-BC)^2) {[D (x-x_0) - B (y-y_0)]^2 + [-C(x-x_0)+A(y-y_0)]^2} = 1$
è l'equazione cartesiana dell'ellisse.
Grazie mille!
Non era necessario entrare troppo nel particolare.
Comunque può sempre essere utile a qualcun altro.
Per caso qualcuno sa aiutarmi in questo problema invece?
Non era necessario entrare troppo nel particolare.Comunque può sempre essere utile a qualcun altro.
Per caso qualcuno sa aiutarmi in questo problema invece?
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