Problema min/max vincolato

[masta8]

sapreste aiutarmi a risolvere quest'esercizio?
Data la funzione f(x,y) = xy
e dato il vincolo g(x,y) = $4x^2 + 9y^2 -32$
Determina gli eventuali punti di min/max vincolato di f sotto il vincolo g.
Per la risoluzione è richiesto di utilizzare lagrange e il metodo dell'hessiano orlato.
vi ringrazio anticipatamente.

[ghira1]

"Masta":sapreste aiutarmi a risolvere quest'esercizio?
Data la funzione f(x,y) = xy
e dato il vincolo g(x,y) = $4x^2 + 9y^2 -32$
Determina gli eventuali punti di min/max vincolato di f sotto il vincolo g.

Ma quale sarebbe il vincolo?

[masta8]

Il vincolo sarebbe la funzione g(x,y)

[ghira1]

"Masta":Il vincolo sarebbe la funzione g(x,y)

Non capisco. $g(x,y)=0$, forse?

[pilloeffe]

Ciao Masta,

"ghira":Non capisco. $g(x,y)=0 $, forse?

Immagino di sì...

Col vincolo $g(x, y) = 4x^2 + 9y^2 - 32 = 0 $ (ellisse) la lagrangiana è la seguente:

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = xy + \lambda (4x^2 + 9y^2 - 32) $

Diunque si ha il sistema seguente:

$ {(\mathcal{L}_x(x, y, \lambda) = f_x(x,y) + \lambda g_x(x,y) = 0),(\mathcal{L}_y(x, y, \lambda) = f_y(x,y) + \lambda g_y(x,y) = 0),(\mathcal{L}_{\lambda}(x, y, \lambda) = g(x,y) = 0):} $

$ {(y + 8 \lambda x = 0),(x + 18\lambda y = 0),(4x^2 + 9y^2 - 32 = 0):} $

che fornisce le $4 $ soluzioni $P_1(2, 4/3 , - 1/12) $, $P_2(- 2, - 4/3, - 1/12) $, $P_3(2, - 4/3, 1/12) $ e $P_4(- 2, 4/3, 1/12) $ (si osservi che la funzione $f(x,y) $ proposta ha dominio naturale $D = \RR^2 $ e che $f(- x, - y) = f(x, y) $).

L'hessiano orlato è il seguente:

[tex]|H(P(x,y,\lambda))| = \begin{vmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & \mathcal{L}_{x x} & \mathcal{L}_{xy} \\ g_y & \mathcal{L}_{yx} & \mathcal{L}_{yy}
\end{vmatrix}[/tex]

Nel caso in esame si ha:

$|H(P(x,y,\lambda))|= |(0, 8x, 18y) , (8x,8\lambda,1) , (18y,1,18\lambda)| $

Lascio a te il calcolo dell'hessiano orlato nei $4$ punti ottenuti $P_i(x_i, y_i, \lambda_i) $, $i = 1, 2, 3, 4 $.