Problema Metodo delle caratteristiche
Consideriamo il problema
$(delu(x,t))/(delt)+c(delu(x,t))/(delx)=u(x,t)^2$, $AA x in RR$,$AA t>0 $
$u(x,0)=u_0(x)$ per $x in RR$
Supponendo che $AA x in RR$, $u_0(x)<0$ calcolare la soluzione.
Ora
Ponendo $X'(t)=c$ e ipotizzando di conoscere il valore di $X(bar t)=bar t$ ottengo $X(t)=ct+bar x-cbar t$.
e
$(d(u(X(t),t)))/dt=(delu(x,t))/(delt)+c(delu(x,t))/(delx)$ dunque ottengo una ODE
$(d(u(X(t),t)))/dt=u(x,t)^2$
Che risolta dovrebbe essere
$u(X(t),t)=1/(t+1/(u_0(bar x-cbar t)))$
e qui mi blocco, mi basta dire che $bar x$ e $bar t$ sono punti generici e quindi li sostituisco immediatamente con $x$ e $t$ ?
E quale importanza ha specificare che $u_0(x)<0$ ?
Grazie in anticipo per la disponibilità
$(delu(x,t))/(delt)+c(delu(x,t))/(delx)=u(x,t)^2$, $AA x in RR$,$AA t>0 $
$u(x,0)=u_0(x)$ per $x in RR$
Supponendo che $AA x in RR$, $u_0(x)<0$ calcolare la soluzione.
Ora
Ponendo $X'(t)=c$ e ipotizzando di conoscere il valore di $X(bar t)=bar t$ ottengo $X(t)=ct+bar x-cbar t$.
e
$(d(u(X(t),t)))/dt=(delu(x,t))/(delt)+c(delu(x,t))/(delx)$ dunque ottengo una ODE
$(d(u(X(t),t)))/dt=u(x,t)^2$
Che risolta dovrebbe essere
$u(X(t),t)=1/(t+1/(u_0(bar x-cbar t)))$
e qui mi blocco, mi basta dire che $bar x$ e $bar t$ sono punti generici e quindi li sostituisco immediatamente con $x$ e $t$ ?
E quale importanza ha specificare che $u_0(x)<0$ ?
Grazie in anticipo per la disponibilità
Risposte
A denominatore ti se perso un $-$ davanti alla $t$ (ricontrolla). Visto che allora avresti $1-t u_0$ e $t\ge 0,\ u_0<0$, il denominatore è sempre non nullo è la soluzione è ben definita. Sì, alla fine le variabili segnate puoi sostituirle con le variabili.
Grazie mille della risposta.
Quindi alla fine la soluzione corretta è
$u(x,t)=1/(t-1/(u_0(x-ct)))$ o $u(x,t)=(u_0(x-ct))/(u_0(x-ct)t-1)$ il segno meno compare nel posto sbagliato quindi non so perchè si impone la condizione su $u_0$.
Visto che ci sono chiedo chiarimenti anche per il secondo punto dell'esercizio che dice:
Supponendo che $u_0(x)>=0 AAx in RR$, $u_0$ non identicamente nulla e limitata. Mostrare che il problema di Cauchy ha un unica soluzione di classe $C^1$ limitata in $RR x [0,T]$ per tutto $0
Ora il calcolo della soluzione è lo stesso(penso) e devo calcolare $T'$ verificando che il denominatore sia non nullo.
Il valore che trovo è semplicemente $T'=1/u_0$ il che mi porta alla domanda: è davvero così semplice ?
Cioè io vedo che il denominatore si annulla per un $T'$ quindi posso dire che la soluzione non può essere definita su un intervallo contenete questo valore. Di conseguenza essa è definita su un intervallo delimitato da 0 e $T'$ escluso.
E' giusto come ragionamento ?
Quindi alla fine la soluzione corretta è
$u(x,t)=1/(t-1/(u_0(x-ct)))$ o $u(x,t)=(u_0(x-ct))/(u_0(x-ct)t-1)$ il segno meno compare nel posto sbagliato quindi non so perchè si impone la condizione su $u_0$.
Visto che ci sono chiedo chiarimenti anche per il secondo punto dell'esercizio che dice:
Supponendo che $u_0(x)>=0 AAx in RR$, $u_0$ non identicamente nulla e limitata. Mostrare che il problema di Cauchy ha un unica soluzione di classe $C^1$ limitata in $RR x [0,T]$ per tutto $0
Ora il calcolo della soluzione è lo stesso(penso) e devo calcolare $T'$ verificando che il denominatore sia non nullo.
Il valore che trovo è semplicemente $T'=1/u_0$ il che mi porta alla domanda: è davvero così semplice ?
Cioè io vedo che il denominatore si annulla per un $T'$ quindi posso dire che la soluzione non può essere definita su un intervallo contenete questo valore. Di conseguenza essa è definita su un intervallo delimitato da 0 e $T'$ escluso.
E' giusto come ragionamento ?
A me veramente la soluzione viene
$$u(x,t)=\frac{u_0(x-ct)}{1-t\cdot u_0(x-ct)}$$
e come dicevo, dal momento che $t\ge 0$ e $u_0<0$ segue che $1-t u_0(x-ct)>0$ per ogni $(x,t)$ e quindi non annullandosi mai il denominatore, la soluzione è ben definita.
Ovviamente se $u_0\ge 0$ (come si richiede nel seguito) significa che ci sono dei valori di $(x,t)$ per cui $1-t u_0(x,t)=0$, e si vede subito che deve essere, se indichiamo con $T'$ tale punto, che $1-T'\cdot u_0(x-c T')=0$. Dal momento che sulle caratteristiche $x-c T'$ la funzione risulta costante, possiamo scegliere un valore "ad hoc" per $x$, ad esempio quello per cui $x-cT'=0$, cioè $x=cT'$ e ricavare il valore di $T'=1/{u_0(0)}$. Il resto del ragionamento è sostanzialmente corretto: quello che ti manca da dimostrare è che la soluzione, sull'intervallo $[0,T')$ risulta limitata, ma dovrebbe essere abbstanza semplice.
$$u(x,t)=\frac{u_0(x-ct)}{1-t\cdot u_0(x-ct)}$$
e come dicevo, dal momento che $t\ge 0$ e $u_0<0$ segue che $1-t u_0(x-ct)>0$ per ogni $(x,t)$ e quindi non annullandosi mai il denominatore, la soluzione è ben definita.
Ovviamente se $u_0\ge 0$ (come si richiede nel seguito) significa che ci sono dei valori di $(x,t)$ per cui $1-t u_0(x,t)=0$, e si vede subito che deve essere, se indichiamo con $T'$ tale punto, che $1-T'\cdot u_0(x-c T')=0$. Dal momento che sulle caratteristiche $x-c T'$ la funzione risulta costante, possiamo scegliere un valore "ad hoc" per $x$, ad esempio quello per cui $x-cT'=0$, cioè $x=cT'$ e ricavare il valore di $T'=1/{u_0(0)}$. Il resto del ragionamento è sostanzialmente corretto: quello che ti manca da dimostrare è che la soluzione, sull'intervallo $[0,T')$ risulta limitata, ma dovrebbe essere abbstanza semplice.
Hai ragione, rifacendo i conti trovo la tua stessa soluzione
Sempre questo esercizio prima di calcolare la soluzione chiede : utilizzando il metodo delle caratteristiche mostrare che esiste un unica soluzione di classe $C^1$ su $RR x [0,+infty[$.
Come posso fare per dimostrarlo ?
Come posso fare per dimostrarlo ?
Se scrivi il sistema caratteristico, puoi in pratica applicare il teorema di esistenza e unicità di Cauchy e verificare che le soluzioni sono ampiamente derivabili, una volta fissato il dato con una certa regolarità.
Grazie dell'infinita disponibilità.
Avrei un'altra domanda, sulla dimostrazione della limitatezza della funzione nell'intervallo $[0,T'[$
$u(x,t)=(u_0(x-ct))/(1-tu_0(x-ct))$
Il limite per $t\to0$ risulta costante :OK.
ma
$\lim_{t \to T'}(u_0(x-ct))/(1-tu_0(x-ct))=+\infty$
quindi la soluzione non è limitata. Dove sbaglio ?
Ancora una volta grazie
Avrei un'altra domanda, sulla dimostrazione della limitatezza della funzione nell'intervallo $[0,T'[$
$u(x,t)=(u_0(x-ct))/(1-tu_0(x-ct))$
Il limite per $t\to0$ risulta costante :OK.
ma
$\lim_{t \to T'}(u_0(x-ct))/(1-tu_0(x-ct))=+\infty$
quindi la soluzione non è limitata. Dove sbaglio ?
Ancora una volta grazie
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