Problema max min
Ciao a tutti!
Sto cercando di fare un esercizio e a quanto pare sono bloccato: credo per un'idiozia, che però non riesco a trovare
Il problema consiste nel trovare il cono di volume minimo circoscritto ad un cilindro avente $b=h=r$, dove con $b$ intendo il raggio di base e con $h$ l'altezza del cilindro, mentre invece con $r$ mi riferisco ad una misura "data" non specificata.
Io ho ragionato considerando l'altezza complessiva del cono circoscritto come $A = r + y$, dove con $y$ intendo un valore incognito; ho ragionato in modo del tutto speculare per quanto riguarda il raggio (sempre del cono) $B = r + x$.
Poi ho scritto la funzione del volume del cono ottenendo:
$\pi/3*(r + x)^2*(r + y)$
Poi ho fatto la derivata e l'ho posta uguale a 0:
$f'(x,y)=0$ da cui ho ho espresso tutto in funzione di x ottenendo:
$x1 = - r$ come prima soluzione e $x2 = - 3r - 2y$ come seconda soluzione.
Ho pensato di scartare come risultato la prima soluzione perchè andando a sostituire nelle ipotesi iniziali il valore $- r$ otterrei che $B = 0$ , che risulta impossibile.
Ora il mio problema è che mi ritrovo con questo risultato, però non riesco ad andare avanti!! Cioè non so dove andare a inserire questo risultato, perchè se lo inserisco nelle equazioni di ipotesi non riesco ad impostare un eventuale sistema! Help pls! Grazie a tutti =)
Sto cercando di fare un esercizio e a quanto pare sono bloccato: credo per un'idiozia, che però non riesco a trovare
Il problema consiste nel trovare il cono di volume minimo circoscritto ad un cilindro avente $b=h=r$, dove con $b$ intendo il raggio di base e con $h$ l'altezza del cilindro, mentre invece con $r$ mi riferisco ad una misura "data" non specificata.
Io ho ragionato considerando l'altezza complessiva del cono circoscritto come $A = r + y$, dove con $y$ intendo un valore incognito; ho ragionato in modo del tutto speculare per quanto riguarda il raggio (sempre del cono) $B = r + x$.
Poi ho scritto la funzione del volume del cono ottenendo:
$\pi/3*(r + x)^2*(r + y)$
Poi ho fatto la derivata e l'ho posta uguale a 0:
$f'(x,y)=0$ da cui ho ho espresso tutto in funzione di x ottenendo:
$x1 = - r$ come prima soluzione e $x2 = - 3r - 2y$ come seconda soluzione.
Ho pensato di scartare come risultato la prima soluzione perchè andando a sostituire nelle ipotesi iniziali il valore $- r$ otterrei che $B = 0$ , che risulta impossibile.
Ora il mio problema è che mi ritrovo con questo risultato, però non riesco ad andare avanti!! Cioè non so dove andare a inserire questo risultato, perchè se lo inserisco nelle equazioni di ipotesi non riesco ad impostare un eventuale sistema! Help pls! Grazie a tutti =)
Risposte
Mi sembra che i tuoi $x$ e $y$ non siano indipendenti, ma che sia $h/x=y/r$: cioè $r/x=y/r$ e quindi $y=(r^2)/x$.
Allora l'espressione del volume diventa
$V(x)=1/3*pi*(r+x)^2*(r+(r^2)/x)=1/3*pi*r*(r+x)^2*(1+r/x)=1/3*pi·r·(x + r)^3/x$
con $x>0$.
Derivando si trova
$V'(x)=1/3*pi·r·((x + r)^2·(2·x - r))/(x^2)$
e
$V'(x)=0$ per $x=r/2$.
Allora l'espressione del volume diventa
$V(x)=1/3*pi*(r+x)^2*(r+(r^2)/x)=1/3*pi*r*(r+x)^2*(1+r/x)=1/3*pi·r·(x + r)^3/x$
con $x>0$.
Derivando si trova
$V'(x)=1/3*pi·r·((x + r)^2·(2·x - r))/(x^2)$
e
$V'(x)=0$ per $x=r/2$.
E' corretto il risultato ma non ho capito il tuo ragionamento iniziale!
Ciao!
Se ho capito bene forse ti conviene esprimere x ed y in funzione d'un unico parametro,
ovvero l'angolo formato tra l'asse di rotazione comune ai due solidi ed una generatrice del cono:
ma non ho fatto i conti,lo ammetto..
Saluti dal web.
Edit:
Dovrebbe essere equivalente all'altro procedimento che leggo:
in fondo conta ridurre all'osso il numero di parametri,
in problemi del genere..
Se ho capito bene forse ti conviene esprimere x ed y in funzione d'un unico parametro,
ovvero l'angolo formato tra l'asse di rotazione comune ai due solidi ed una generatrice del cono:
ma non ho fatto i conti,lo ammetto..
Saluti dal web.
Edit:
Dovrebbe essere equivalente all'altro procedimento che leggo:
in fondo conta ridurre all'osso il numero di parametri,
in problemi del genere..
"Demostene92":
E' corretto il risultato ma non ho capito il tuo ragionamento iniziale!
In figura $x=EA$, $y=HG$, $h=AD$, $r=DH$. Inoltre $h=r$.
I triangoli $EAD$ e $DHG$ sono simili e quindi hanno i lati in proporzione. In particolare $h/x=y/r$, che si può riscrivere come $r/x=y/r$, da cui $y=(r^2)/x$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo