Problema massimo e minimo di due variabili

[christian951]

Buonasera a tutti,non riesco a continuare questo esercizio di massimo e minimo in due variabili,qualcuno mi saprebbe aiutare? Grazie mille in anticipo.

la funzione è:

$ f(x,y)=sqrt(1-x^2-y^2+2y) $

ho calcolato in gradiente e posto uguale a zero,mi trovo:

$ { ( -x/sqrt(1-x^2-y^2+2y)=0 ),(-y/sqrt(1-x^2-y^2+2y)=0 ):} $

ho posto quindi numeratore e denominatore = 0 ma non riesco a svolgere il denominatore ---> $ 1-x^2-y^2+2y=0 $ che sembra una conica...

Help!

[donald_zeka]

Perché hai posto il denominatore uguale a zero?

[christian951]

Non lo so ahahah,è il primo giorno di studio dopo un mese di vacanze,pardon!.

Comunque mi capita spesso di trovarmi di fronte a coniche ad esempio

$ f(x,y)=(x+y)^3/3 $ nel dominio $ x^2/2+xy +y^2=2 $ e non so mai come procedere...

[donald_zeka]

Procedere in cosa? Stai facendo un po' di confusione. Il denominatore di una qualsiasi espressione non può mai essere pari a zero. Tu hai un problema di massimo/minimo e quindi devi risolvere quel sistema, dato che il denominatore non può mai essere zero, allora dovrà essere zero il numeratore...
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[christian951]

"Vulplasir":Procedere in cosa? Stai facendo un po' di confusione. Il denominatore di una qualsiasi espressione non può mai essere pari a zero. Tu hai un problema di massimo/minimo e quindi devi risolvere quel sistema, dato che il denominatore non può mai essere zero, allora dovrà essere zero il numeratore...
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Sisi quello l'ho capito,mi chiedevo come si risolvesse in generale un equazione ad esempio $ 2x^2y+4xy+2y=0 $

[donald_zeka]

E' un'equazione in due incognite, non si può risolvere. Per risolverla devi avere un'altra equazione così da formare un sistema di due equazioni in due incognite.

[christian951]

"Vulplasir":E' un'equazione in due incognite, non si può risolvere. Per risolverla devi avere un'altra equazione così da formare un sistema di due equazioni in due incognite.

mmm scusa per il disturbo ma proprio non capisco come fare...,ho una funzione in due incognite $ f(x,y)=(x+1)^2(y^2-x^2) $
di cui devo trovare max e min relativi,ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x $ -x(x+1)(2x^2+x-y^2) $ e rispetto a y =0
Ora siccome dovrei porle = 0 mi blocco con $ -x(x+1)(2x^2+x-y^2)=0 $

Avevo pensato di scriverla come $ (-x(x+1))/(1/(2x^2+x-y^2))=0 $ cosi da porre solo il numeratore = 0 ma non credo sia corretto

[donald_zeka]

Se hai fatto bene i calcoli hai:

$(partialf)/(partialx)=-x(x+1)(2x^2+x-y^2)=0$
$(partialf)/(partialy)=2y(x+1)^2=0$

Questo è un sistema, ossia devi trovare le coppie (x,y) che verificano entrambe le equazioni, pertanto, parti dalla seconda equazione, essa è soddisfatta per $y=0$ e per $x=-1$, considera prima il caso $y=0$, e sostituiscilo nella prima equazione, hai:

$-x(x+1)(2x^2+x)=0$

Questa è una equazione di una incognita le cui soluzioni sono $x=0$, $x=-1$ e $x=-1/2$, pertanto le coppie $(0,0),(-1,0),(-1/2,0)$ sono soluzioni del sistema.

Ora ritorna alla seconda equazione e considera il caso $x=-1$, e sostituiscilo nella prima e fai la stessa cosa.

[donald_zeka]

In generale quando poni il gradiente di una funzione pari a zero, devi risolvere un sistema di due equazioni in due incognite, e le equazioni di questo sistema di solito non sono lineari, ossia il sistema non è lineare, e quando un sistema non è lineare allora non esistono metodi per risolverlo, bisogna arrangiarsi, anzi, il sistema potrebbe essere pure irrisolvibile. Nell'ultimo caso che hai postato, il sistema si risolveva facilmente per sostituzione perché la seconda equazione : $2y(x+1)^2=0$, essendo un prodotto, per trovarne le soluzioni bisogna porre a zero i singoli termini del prodotto: $2y=0$ e $(x+1)^2=0$, come vedi queste due equazioni sono risolvibili perché sono in una sola incognita, se non fosse stato così allora il sistema sarebbe stato molto difficile da risolvere e forse neanche risolvibile senza un calcolatore.

[christian951]

"Vulplasir":In generale quando poni il gradiente di una funzione pari a zero, devi risolvere un sistema di due equazioni in due incognite, e le equazioni di questo sistema di solito non sono lineari, ossia il sistema non è lineare, e quando un sistema non è lineare allora non esistono metodi per risolverlo, bisogna arrangiarsi, anzi, il sistema potrebbe essere pure irrisolvibile. Nell'ultimo caso che hai postato, il sistema si risolveva facilmente per sostituzione perché la seconda equazione : $2y(x+1)^2=0$, essendo un prodotto, per trovarne le soluzioni bisogna porre a zero i singoli termini del prodotto: $2y=0$ e $(x+1)^2=0$, come vedi queste due equazioni sono risolvibili perché sono in una sola incognita, se non fosse stato così allora il sistema sarebbe stato molto difficile da risolvere e forse neanche risolvibile senza un calcolatore.

Grazie mille,gentilissimo