Problema massimi e minimi

[Maximealive]

Salve, dovrei calcolare i punti critici della seguente funzione:

$ (x^4+y^4)e^(-(x^2+y^2)/2) $

Non riesco nella risoluzione del sistema, quando pongo il gradiente uguale a zero per il calcolo dei punti critici(il sistema ottenuto dovrebbe essere il seguente):

$ e^(-(x^2+y^2)/2)x(4x^2-(x^4+y^4))=0 $
$ e^(-(x^2+y^2)/2)y(4y^2-(x^4+y^4))=0 $

[gio73]

ciao

forse sbaglio i calcoli, ma a me viene

$f_x=2xe^(-(x^2+y^2)/2)(2x^2-(x^4+y^4))$
$f_y=2ye^(-(x^2+y^2)/2)(2y^2-(x^4+y^4))$

fammi sapere se va bene

direi che l'origine $O(0;0)$ è evidentemente un punto critico, facendo lo studio del segno dovresti determinarne la natura senza difficoltà


modifica il titolo il tutto maiuscolo è vietato dal regolamento, usa il tasto modifica in alto a destra.

[Sacaio]

Stavo terminando la stesura di una risposta esaustiva, ma l'ho persa facendo anteprima perché l'altra discussione (identica) è stata bloccata. Peccato. Riassumero: anzitutto mi pare che in ambo le derivate manchi un $1/2$ davanti a $(x^4 + y^4)$. Passando al problema l'esponenziale puoi non considerarlo, tanto è sempre positivo, e ti trovi un sistema un po' meno ciccione. Poi: un primo risultato lo trovi ponendo $x=0$ (per cui la prima equazione si annulla) e andando a scoprire dove si annulla quel che resta della seconda, ovvero: $y(4y^2 - 1/2y^4)$. Avrai qui come soluzione $y=0$ oppure, se $y!=0$ cerchi le soluzioni di $4y^2 - 1/2y^4=0$ a cui si perviene facilmente raccogliendo un $y^2$. Specularmente a quanto fatto sin ora calcoli anche le soluzioni che risultano ponendo $y=0$. In ultimo ti rimane il caso in cui sia $x$ che $y$ sono diversi da $0$, che ti porta a cercare le soluzioni del sistema:

$4x^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$
$4y^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$

Ovvero:

$4x^2 = 4y^2$ quindi tutte le coppie del tipo $(x,y)=(a,a)$ o $(x,y)=(a,-a) \, \forall a \in \mathbb{R}$.

Dovrebbe essere tutto.

[Maximealive]

"Sacaio":Stavo terminando la stesura di una risposta esaustiva, ma l'ho persa facendo anteprima perché l'altra discussione (identica) è stata bloccata. Peccato. Riassumero: anzitutto mi pare che in ambo le derivate manchi un $1/2$ davanti a $(x^4 + y^4)$. Passando al problema l'esponenziale puoi non considerarlo, tanto è sempre positivo, e ti trovi un sistema un po' meno ciccione. Poi: un primo risultato lo trovi ponendo $x=0$ (per cui la prima equazione si annulla) e andando a scoprire dove si annulla quel che resta della seconda, ovvero: $y(4y^2 - 1/2y^4)$. Avrai qui come soluzione $y=0$ oppure, se $y!=0$ cerchi le soluzioni di $4y^2 - 1/2y^4=0$ a cui si perviene facilmente raccogliendo un $y^2$. Specularmente a quanto fatto sin ora calcoli anche le soluzioni che risultano ponendo $y=0$. In ultimo ti rimane il caso in cui sia $x$ che $y$ sono diversi da $0$, che ti porta a cercare le soluzioni del sistema:

$4x^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$
$4y^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$

Ovvero:

$4x^2 = 4y^2$ quindi tutte le coppie del tipo $(x,y)=(a,a)$ o $(x,y)=(a,-a) \, \forall a \in \mathbb{R}$.

Dovrebbe essere tutto.

Grazie per le risposte e scusatemi per il titolo, ma mi era sfuggito. Comuqnue ho ricontrollato le derivate su wolfram ed il risultato mi sembra che sia questo postato:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+%28x%5E4%2By%5E4%29e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29
Ora mi trovo di fronte al problema dell'Hessiano nullo, quindi nel punto (0,0). Non so come stabilire se è massimo minimo o sella. Ho svolto l esercizio su wolfram, ed è l unico punto in cui non ne viene determinata la natura. Nel frattempo grazie di tutto.

[Maximealive]

"gio73":ciao

forse sbaglio i calcoli, ma a me viene

$f_x=2xe^(-(x^2+y^2)/2)(2x^2-(x^4+y^4))$
$f_y=2ye^(-(x^2+y^2)/2)(2y^2-(x^4+y^4))$

fammi sapere se va bene

direi che l'origine $O(0;0)$ è evidentemente un punto critico, facendo lo studio del segno dovresti determinarne la natura senza difficoltà


modifica il titolo il tutto maiuscolo è vietato dal regolamento, usa il tasto modifica in alto a destra.

Ciao, ho tentato di risolverlo, ed ho scritto questo, ma non so se è completo o errato:

$\Delta f=f(x,y)-f(0,0)$

quindi risolvendo ho:

$\Delta f=x^4+y^4>0$->punto di minimo

essendo anche $e^(-(x^2+y^2)-2)$sempre maggiore di zero

[gio73]

l'origine è senz'altro un punto di minimo: lì la funzione vale zero, altrove è positiva.