Problema limiti con limiti notevoli

[dirk25]

Buonasera a tutti, ho qualche problema con la risoluzione di un paio di limiti credo abbastanza banali ma che mi danno qualche difficoltà.

Il primo limite è $lim_(x->0)(e^(2x)-e^x)/(2x)$. Io pensavo di risolverlo utilizzando il limite notevole $lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$, dunque ho cercato di mettere in evidenza $e^x$ al numeratore raccogliendolo ma non ne sono venuto comunque a capo. Sento di essere vicino alla soluzione ma mi manca l'ultimo passaggio

Il secondo limite invece è $lim_(x->0)(sin(3x^2)+(1/2)^x+x)/(ln(sqrt(x)-1)$. Io sono riuscito a risolverlo con il teorema degli infiniti (mi esce $+infty$) ma volevo sapere se era possibile risolverlo mediante l'utilizzo dei limiti notevoli e, in quel caso, quali passaggi sono necessari per la risoluzione.

[Noisemaker]

per il primo limite si
\begin{align}
\lim_{x\to0} \frac{e^{2x}-e^x}{2x}=\lim_{x\to0} \frac{e^x\left(e^{x}-1\right)}{2x}=\lim_{x\to0} \frac{e^x}{2}\cdot\frac{\left(e^{x}-1\right)}{x}= 1/2
\end{align}
per il secondo probabilmente non l'hai scritto bene, in quanto non ha senso fare il limite per $x\to0$ non essendo $0$ punto di accumulazione del dominio della funzione $14;$

[dirk25]

"Noisemaker":per il primo limite si
\begin{align}
\lim_{x\to0} \frac{e^{2x}-e^x}{2x}=\lim_{x\to0} \frac{e^x\left(e^{x}-1\right)}{2x}=\lim_{x\to0} \frac{e^x}{2}\cdot\frac{\left(e^{x}-1\right)}{x}= 1/2
\end{align}
per il secondo probabilmente non l'hai scritto bene, in quanto non ha senso fare il limite per $x\to0$ non essendo $0$ punto di accumulazione del dominio della funzione $14;$

Ah ok quindi nel primo limite sbagliavo semplicemente il raccoglimento a numeratore perchè facevo $e^x*(e^2-1)$ invece di $e^x*(e^x-1)$. Grazie mille per l'aiuto, sono andato anche a rivedermi bene le operazioni con gli esponenziali.

Invece il secondo l'ho sbagliato a scrivere, il limite è $lim_(x\to+infty)(sin(3x^2)+(1/2)^x+x)/ln(sqrt(x)-1)$. A me esce $+infty$ usando il teorema degli infiniti, volevo sapere se era possibile risolverlo con i limiti notevoli.