Problema limite di funzione
Buongiorno.
Una domanda credo più teorica che pratica circa il seguente esercizio:
\(\ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ x(x^x-cos(\sqrt{x}))}{(x^2log(1+1/x))^{1+x}} \)
Ora, il risultato è: \(\ \sqrt{e} \)
Per la risoluzione, io al numeratore ho messo in evidenza x^x in quanto dominante nella parentesi, ottenendo infine \(\ x^{x+1} \)
Al denominatore, sviluppando log al primo ordine e operando l'opportuno prodotto, ottengo, anche lì, \(\ x^{x+1} \)
Dunque, risultato finale secondo il mio svolgimento: 1.
La mia domanda ora è: chiaramente l'esercizio è errato, visto che la soluzione trovata è differente. Tuttavia, almeno mi pare, i passaggi sono corretti. Quindi, perché 1 non è un risultato accettabile? L'errore dove sta? Nell'aver sviluppato troppo poco. È un errore, se vogliamo, di "stima"?
Chiedo perché riesco a risolvere limiti anche apparentemente più complessi, ma delle volte mi capita di ritrovarmi di fronte un caso simile, o che mi pare tale, dove l'indecisione sul da farsi è tanta.
Attendo con ansia vostre risposte e vi ringrazio anticipatamente per la pazienza. Buona giornata
Una domanda credo più teorica che pratica circa il seguente esercizio:
\(\ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ x(x^x-cos(\sqrt{x}))}{(x^2log(1+1/x))^{1+x}} \)
Ora, il risultato è: \(\ \sqrt{e} \)
Per la risoluzione, io al numeratore ho messo in evidenza x^x in quanto dominante nella parentesi, ottenendo infine \(\ x^{x+1} \)
Al denominatore, sviluppando log al primo ordine e operando l'opportuno prodotto, ottengo, anche lì, \(\ x^{x+1} \)
Dunque, risultato finale secondo il mio svolgimento: 1.
La mia domanda ora è: chiaramente l'esercizio è errato, visto che la soluzione trovata è differente. Tuttavia, almeno mi pare, i passaggi sono corretti. Quindi, perché 1 non è un risultato accettabile? L'errore dove sta? Nell'aver sviluppato troppo poco. È un errore, se vogliamo, di "stima"?
Chiedo perché riesco a risolvere limiti anche apparentemente più complessi, ma delle volte mi capita di ritrovarmi di fronte un caso simile, o che mi pare tale, dove l'indecisione sul da farsi è tanta.
Attendo con ansia vostre risposte e vi ringrazio anticipatamente per la pazienza. Buona giornata
Risposte
Il fatto è che, effettivamente, il limite fa \( 1\) http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%20x%20to%20%2B%E2%88%9E%20of%20%28x%2A%28x%5Ex%20-%20cos%E2%88%9Ax%29%29%2F%28x%5E2%20ln%281%20%2B1%2Fx%29%29%5E%281%2Bx%29 
A me però viene $sqrt(e)$ ...
Sembra che Wolfram Alpha abbia qualche problema con questo limite. Così:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28lim%20x%20to%20%2B%E2%88%9E%20of%20%28x%2A%28x%5Ex%20-%20cos%E2%88%9Ax%29%29%2F%28x%5E2%20ln%281%20%2B1%2Fx%29%29%5E%281%2Bx%29%29%20-%20%E2%88%9Ae
fa come se il risultato fosse \( 1 \). Così, invece:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%20x%20to%20%2B%E2%88%9E%20of%20%28x%2A%28x%5Ex%20-%20cos%E2%88%9Ax%29%29%2F%28x%5E2%20ln%281%20%2B1%2Fx%29%29%5E%281%2Bx%29%20-%20%E2%88%9Ae
fa come se il risultato fosse \( \sqrt{e} \). Graficamente (ed analiticamente) però sembrerebbe essere giusto \( \sqrt{e} \).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28lim%20x%20to%20%2B%E2%88%9E%20of%20%28x%2A%28x%5Ex%20-%20cos%E2%88%9Ax%29%29%2F%28x%5E2%20ln%281%20%2B1%2Fx%29%29%5E%281%2Bx%29%29%20-%20%E2%88%9Ae
fa come se il risultato fosse \( 1 \). Così, invece:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%20x%20to%20%2B%E2%88%9E%20of%20%28x%2A%28x%5Ex%20-%20cos%E2%88%9Ax%29%29%2F%28x%5E2%20ln%281%20%2B1%2Fx%29%29%5E%281%2Bx%29%20-%20%E2%88%9Ae
fa come se il risultato fosse \( \sqrt{e} \). Graficamente (ed analiticamente) però sembrerebbe essere giusto \( \sqrt{e} \).
"Per impegnarsi, si impegna ma ..." (cit.) 
Vi ringrazio per la partecipazione. Compreso che molto probabilmente il risultato è radice di e, non tanto il procedimento che mi conduce ad esso, quanto l'errore commesso non riesco proprio ad individuarlo...
Anche io sarei interessato a sapere perchè fa radice di e...come ci si arriva almeno, ho provato anche a sviluppare il logaritmo a denominatore con taylor così l' x^2 è sparito, ma non so come andare avanti
Ci sono quasi! Direi di aver capito, manca solo qualche passaggio ma ci sono. Tempo di finire e accendere il pc e mando il procedimento 
Ecco qua
$ lim_(x -> oo ) (x(x^x-cos(sqrt(x))))/(x^2ln(1+1/x))^(1+x) $
sviluppando con taylor fino al secondo ordine il logaritmo al denominatore ed eseguendo la moltipicazione al numeratore viene
$ lim_(x -> oo ) (x^(x+1)-xcos(sqrt(x)))/((2x-1)/2)^(1+x) = lim_(x -> oo ) (x^(x+1))/(((2x-1)/2)^(1+x))-(xcos(sqrt(x)))/(((2x-1)/2)^(1+x))= $
$ =lim_(x -> oo )((2x)/(2x-1))^(x+1)-lim_(x -> oo )(xcos(sqrt(x)))/(((2x-1)/2)^(1+x))= $
$ =lim_(x -> oo )((2x)/(2x-1))^(x+1)-0= $
$ =lim_(x -> oo )e^((x+1)ln(1+1/(2x-1)))=lim_(x -> oo )e^((x+1)/(2x-1))=lim_(x -> oo )sqrt(e) $
Io ci sono arrivato così...se axpgn può dar conferma gliene sarei grato
$ lim_(x -> oo ) (x(x^x-cos(sqrt(x))))/(x^2ln(1+1/x))^(1+x) $
sviluppando con taylor fino al secondo ordine il logaritmo al denominatore ed eseguendo la moltipicazione al numeratore viene
$ lim_(x -> oo ) (x^(x+1)-xcos(sqrt(x)))/((2x-1)/2)^(1+x) = lim_(x -> oo ) (x^(x+1))/(((2x-1)/2)^(1+x))-(xcos(sqrt(x)))/(((2x-1)/2)^(1+x))= $
$ =lim_(x -> oo )((2x)/(2x-1))^(x+1)-lim_(x -> oo )(xcos(sqrt(x)))/(((2x-1)/2)^(1+x))= $
$ =lim_(x -> oo )((2x)/(2x-1))^(x+1)-0= $
$ =lim_(x -> oo )e^((x+1)ln(1+1/(2x-1)))=lim_(x -> oo )e^((x+1)/(2x-1))=lim_(x -> oo )sqrt(e) $
Io ci sono arrivato così...se axpgn può dar conferma gliene sarei grato
Chiedendo al docente, si è scoperto che l'errore sta nell'ordine di sviluppo scelto.
Al denominatore avevo optato per il primo ordine, sviluppando \(\ ln(1+ \frac{1}{x}) \) come segue: \(\ 1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) \) .
Se si procede nel seguente modo, moltiplicando con \(\ x^2 \) si ottiene \(\ (x+o(x))^{x+1} \) .
Raccogliendo la \(\ x \) all'interno della parentesi si ha \(\ x^{x+1}(1+o(1))^{x+1} \)
Ecco che la forma indeterminata del tipo \(\ 1^{\infty} \) si rivela.
Basta sviluppare all'ordine successivo e tutto si risolve.
Vi ringrazio per la collaborazione.
A presto.
Al denominatore avevo optato per il primo ordine, sviluppando \(\ ln(1+ \frac{1}{x}) \) come segue: \(\ 1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) \) .
Se si procede nel seguente modo, moltiplicando con \(\ x^2 \) si ottiene \(\ (x+o(x))^{x+1} \) .
Raccogliendo la \(\ x \) all'interno della parentesi si ha \(\ x^{x+1}(1+o(1))^{x+1} \)
Ecco che la forma indeterminata del tipo \(\ 1^{\infty} \) si rivela.
Basta sviluppare all'ordine successivo e tutto si risolve.
Vi ringrazio per la collaborazione.
A presto.
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