Problema limite
Buonasera, invoco il vostro cortese aiuto perchè ho un problema con un limite.
Mi scuso in anticipo se la forma non sarà di facile lettura ma purtroppo non so utilizzare l'editor per le formule.
lim [cos(x)+ln(x)]/[2x+ln(x^15 +4)]
Il limite va a + infinito.
Grazie in anticipo
Mi scuso in anticipo se la forma non sarà di facile lettura ma purtroppo non so utilizzare l'editor per le formule.
lim [cos(x)+ln(x)]/[2x+ln(x^15 +4)]
Il limite va a + infinito.
Grazie in anticipo
Risposte
Il limite è questo?
$ lim_(x ->+oo ) (cosx+lnx)/(2x+ln(x^15+4) $
$ lim_(x ->+oo ) (cosx+lnx)/(2x+ln(x^15+4) $
è in forma ind $frac{\infty}{\infty}$
derivo sopra e sotto (hopital)
$frac{-sin x+1/x}{2+frac{15x^14}{x^15+4}}$
e non c'è piú la for,a indet
derivo sopra e sotto (hopital)
$frac{-sin x+1/x}{2+frac{15x^14}{x^15+4}}$
e non c'è piú la for,a indet
$ lim_(x ->+oo ) (cosx+lnx)/(2x+ln(x^15+4)$
considera intanto di staccare il limite.
$ lim_(x ->+oo ) (cosx)/(2x+ln(x^15+4))+ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15+4)$
il primo limite fa ovviamente $0$, a numeratore abbiamo una quantità limitata e a denominatore una quantità che diventa sempre più grande. Dunque ci riduciamo a:
$ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15+4)$
ora basta considerare l'equivalenza asintotica per $x->+infty$ di:
$(x^15+4)$\(\displaystyle \sim \)$x^15$
dunque $ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15))= lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+15lnx)$
la conclusione è ovvia...
considera intanto di staccare il limite.
$ lim_(x ->+oo ) (cosx)/(2x+ln(x^15+4))+ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15+4)$
il primo limite fa ovviamente $0$, a numeratore abbiamo una quantità limitata e a denominatore una quantità che diventa sempre più grande. Dunque ci riduciamo a:
$ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15+4)$
ora basta considerare l'equivalenza asintotica per $x->+infty$ di:
$(x^15+4)$\(\displaystyle \sim \)$x^15$
dunque $ lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+ln(x^15))= lim_(x ->+oo ) (lnx)/(2x+15lnx)$
la conclusione è ovvia...
Grazie mille a tutti!!!
Gentilissimi come sempre, vi auguro una buona serata
Gentilissimi come sempre, vi auguro una buona serata
Gianluca vorrei farti notare una cosa:
Puoi dare la risposta già da subito senza utilizzare l'Hopital o altri procedimenti.
Ti basta notare che cercando il limite all'infinito, dobbiamo tenere in considerazione solamente gli infiniti di grado maggiore, e data la funzione ti puoi rendere conte che la funzione al denominatore (per la presenza della $x$), è più veloce di quella la nominatore. (x cresce più velocemente del logarito).
Di conseguenza per asintotico la tua funzione può essere riscritta come:
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{cosx+lnx}{2x+ln\left(x^{15}+4\right)}\right) \approx \lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{2x}\right) = \color{red}{0}$$
Puoi dare la risposta già da subito senza utilizzare l'Hopital o altri procedimenti.
Ti basta notare che cercando il limite all'infinito, dobbiamo tenere in considerazione solamente gli infiniti di grado maggiore, e data la funzione ti puoi rendere conte che la funzione al denominatore (per la presenza della $x$), è più veloce di quella la nominatore. (x cresce più velocemente del logarito).
Di conseguenza per asintotico la tua funzione può essere riscritta come:
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{cosx+lnx}{2x+ln\left(x^{15}+4\right)}\right) \approx \lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{2x}\right) = \color{red}{0}$$
[quote=AmarildoA][/quote]
Grazie mille!
Grazie mille!
beh in realtà al numeratore rimane "log x", non 1.
infatti $cos x+ log x \approx log x$ e non $cos x+ log x \approx 1$
infatti $cos x+ log x \approx log x$ e non $cos x+ log x \approx 1$
$\asintotic$
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