Problema limite
questo limite viene $-infty $ non capisco perchè per svolgerlo uso due limiti notevoli quello del cos che vale 1/2 e un altro con l'esponente x ossia $ ((1+a)^(x)-1)/a) $, il limite è : $ lim_(n->+infty) (2-2cos((3n)/(n^2+1))*log n)/((root(3)(1+1/n)-1)^2*log(n+1)) $.
inoltre facendo le vaeri semplificazioni non va proprio a infinito...
inoltre facendo le vaeri semplificazioni non va proprio a infinito...
Risposte
nn posso usare il terorema di the hopital
Successioni e derivabilità non vanno d'accordo....quindi De L'Hopoital non si puà usare..... io farei cosi
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2}\right)\ln n}{\left(\frac{1}{3n}\right)^2\ln n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{18 n^2 }{ \ln n} - 18n^2 \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\\
&=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)=-\infty
\end{align}
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2}\right)\ln n}{\left(\frac{1}{3n}\right)^2\ln n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{18 n^2 }{ \ln n} - 18n^2 \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\\
&=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)=-\infty
\end{align}
non ho capito bene i tuoi passaggio ma il meno da dove viene fuori?
non hai capito cosa? il meno viene fuori perchè alla fine hai
\begin{align} ....=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)= +\infty\left(0-1\right) =-\infty\end{align}
\begin{align} ....=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)= +\infty\left(0-1\right) =-\infty\end{align}
io uso il lim del coseno che fa 1/2 e poi dopo i vari calcoli mi viene infinito
ma non puoi usarlo! non hai $1-cos (1/n)$ hai $1-cos (1/n)\ln n$
quindi è perchè ho un log che moltiplica ilcoseno il motivo x cui non posso usare il lim notevole?
si
ma che problemi causa?, cmq nei primi due passaggi non capito bene come cambi l'argomento del coseno....
Come che problemi causa?!?!?!?!?
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\frac{1+\cos x}{1+\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{1-cos^{2}x}{x^{2}}\frac{1}{1+\cos x}=\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\frac{1}{1+\cos x}=(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x})^{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2}\]
Questo è il limite notevole che richiami, il valore \(\frac{1}{2}\) è il risultato del limite, non è che a tuo piacimento puoi infilarci altre funzioni e aspettarti che il limite rimanga lo stesso..
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\frac{1+\cos x}{1+\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{1-cos^{2}x}{x^{2}}\frac{1}{1+\cos x}=\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\frac{1}{1+\cos x}=(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x})^{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2}\]
Questo è il limite notevole che richiami, il valore \(\frac{1}{2}\) è il risultato del limite, non è che a tuo piacimento puoi infilarci altre funzioni e aspettarti che il limite rimanga lo stesso..
Consideriamo il limite:
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)} \end{align}
e cominiciamo a considerare il numeratore
\begin{align} 2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n=2\left[1- \cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n\right] \end{align}
e cerchiamo di stabilirne il comportamento quando $n\to+\infty$, cioè cerchiamo l'infinito dominante: l'argomento del coseno, quando $n\to+\infty$ si comporta come:
\begin{align} \frac{3n}{n^2+1} \sim \frac{3n}{n^2 }=\frac{3 }{n } \end{align}
infatto a numeratore l'infinito dominante è naturalmente $3n$ in quanto è l'unico che c'è! mentre a denominatore tra i due addendi $n^2$ e $1$ chi va all'infinito più velocemente è ovviamente $n^2$; allora avremo che il numeratore asintoticamente si comporta come:
\begin{align} 2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n=2\left[1- \cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n\right]\sim2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]. \end{align}
Consideriamo ora il denominatore e, come prima, cerchiamo l'infinito dominate: ricordando che, quando $n\to+\infty$ abbiamo che $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^ {\alpha }-1\sim \frac{\alpha}{n}$$
si ha
\begin{align} \left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1) \sim \left( \frac{1}{3n } \right)^2\ln(n+1)= \frac{\ln(n+1)}{9n^2 } \end{align}
ed osservando che nell'argomento del logaritmo l'infinito dominante tra i due addenfo $n$ ed $1$ è naturalmente $n$, abbiamo che
\begin{align} \left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1) \sim \left( \frac{1}{3n } \right)^2\ln(n+1)= \frac{\ln(n+1)}{9n^2 } \sim \frac{\ln n}{9n^2 }\end{align}
Dunque il limite dato lo possiamo asintoticamente confrontare con il limite
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)}&\sim \lim_{n\to+\infty} \frac{2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]}{ \frac{\ln n}{9n^2 }}=\lim_{n\to+\infty} \frac{18n^2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]}{ \ln n}\\
&=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)= +\infty\left(0-1\right) =-\infty \\
\end{align}
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)} \end{align}
e cominiciamo a considerare il numeratore
\begin{align} 2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n=2\left[1- \cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n\right] \end{align}
e cerchiamo di stabilirne il comportamento quando $n\to+\infty$, cioè cerchiamo l'infinito dominante: l'argomento del coseno, quando $n\to+\infty$ si comporta come:
\begin{align} \frac{3n}{n^2+1} \sim \frac{3n}{n^2 }=\frac{3 }{n } \end{align}
infatto a numeratore l'infinito dominante è naturalmente $3n$ in quanto è l'unico che c'è! mentre a denominatore tra i due addendi $n^2$ e $1$ chi va all'infinito più velocemente è ovviamente $n^2$; allora avremo che il numeratore asintoticamente si comporta come:
\begin{align} 2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n=2\left[1- \cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n\right]\sim2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]. \end{align}
Consideriamo ora il denominatore e, come prima, cerchiamo l'infinito dominate: ricordando che, quando $n\to+\infty$ abbiamo che $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^ {\alpha }-1\sim \frac{\alpha}{n}$$
si ha
\begin{align} \left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1) \sim \left( \frac{1}{3n } \right)^2\ln(n+1)= \frac{\ln(n+1)}{9n^2 } \end{align}
ed osservando che nell'argomento del logaritmo l'infinito dominante tra i due addenfo $n$ ed $1$ è naturalmente $n$, abbiamo che
\begin{align} \left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1) \sim \left( \frac{1}{3n } \right)^2\ln(n+1)= \frac{\ln(n+1)}{9n^2 } \sim \frac{\ln n}{9n^2 }\end{align}
Dunque il limite dato lo possiamo asintoticamente confrontare con il limite
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{2-2\cos\left(\frac{3n}{n^2+1}\right)\ln n}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^2\ln(n+1)}&\sim \lim_{n\to+\infty} \frac{2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]}{ \frac{\ln n}{9n^2 }}=\lim_{n\to+\infty} \frac{18n^2\left[1- \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\ln n\right]}{ \ln n}\\
&=\lim_{n\to+\infty}18 n^2\left(\frac{1 }{ \ln n} - \cos\left(\frac{3 }{n}\right)\right)= +\infty\left(0-1\right) =-\infty \\
\end{align}
Capito tutto grazie 
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