Problema isoperimetrico nel piano

[stefystefy891]

devo svolgere una relazione sul problema isoperimetrico nel piano...qualcuno a qualche libro o qualche sito da consigliarmi???
grazie mille...

[gugo82]

Di libri ce ne sono tanti, ma servirebbe piuttosto sapere che scuola/università frequenti e (nel caso si tratti di università) se hai fatto gli esami di Analisi di base o no.


@ moderatori di Analisi Numerica e Ricerca Operativa: penso sia meglio spostarlo in Analisi o in Scuola secondaria di secondo grado (a seconda della risposta che arriverà alla mia domanda ).

[stefystefy891]

frequento il primo anno di matematica...già fatto analisi I e II...

[gugo82]

Innanzitutto scusa il ritardo, mi ero perso la tua risposta.

In primis, ti dico che l'argomento è abbastanza delicato: ci sono millemila dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica che fanno uso di tecniche molto diverse tra loro.
Soprattutto l'argomento non è per nulla adatto ad uno studente del primo anno della triennale... E forse nemmeno per uno studente della specialistica, se non ha una buona formazione analitica.

Ad ogni modo, ti consiglio qualche riferimento bibliografico sull'argomento.
Un buon "survey" sulla disuguaglianza isoperimetrica (nel piano ma anche in dimensione maggiore) è un classico articolo di Osserman, The isoperimetric inequality, (1978) Bull. of A.M.S..
Tuttavia se vuoi concentrarti sul caso piano, la dimostrazione (semplice) che usa la disuguaglianza di Wirtinger la trovi spiegata per bene sul Dacorogna, Introduction to Calculus of Variation, cap. 6, §§ 6.1 e 6.2; per capire la prova dovresti sapere un po' di serie di Fourier in e, in particolare, l'uguaglianza di Parseval.

Se poi vuoi concentrarti sulla storia del problema, potresti anche guardare un po' su wiki e cercare un po' in rete.

[stefystefy891]

ok grazie....e in particolare ci servirebbe qualcosa sull'andamento delle costanti nella disuguaglianza isoperimetrica, sempre nel piano...qualche idea???

[gugo82]

"stefystefy89": servirebbe qualcosa sull'andamento delle costanti nella disuguaglianza isoperimetrica, sempre nel piano...

Non sono sicuro di aver ben capito cosa vuoi dire con "andamento delle costanti"... Però provo a darti qualche spunto.

La disuguaglianza isoprimetrica piana si scrive:

(I) $\quad L^2(Gamma)>=4pi*A(Gamma)$

in cui $L(Gamma)$ ed $A(Gamma)$ sono, rispettivamente, la lunghezza di una curva semplice e chiusa $Gamma$ e l'area della parte limitata di piano racchiusa da tale curva.
N.B.: il valore di $L(Gamma)$ può essere $+oo$, ma in tal caso la disuguaglianza diviene banale; pertanto si può supporre, senza ledere la generalità, che $Gamma$ sia anche rettificabile.

Si prova che la costante isoperimetrica $C=4pi$ è la costante ottimale (in inglese, best constant) nella (I), nel senso che essa è la più grande costante $c>=0$ per le quali sussiste una disuguaglianza del tipo:

$L^2(Gamma)>=c*A(Gamma)$

per ogni curva semplice, chiusa e rettificabile $Gamma$; in altre parole, la famiglia dei rapporti:

$F:=\{(L^2(Gamma))/(A(Gamma)), " con " Gamma " curva semplice, chiusa e rettificabile che racchiude una parte limitata di piano d'area non nulla" \}\quad$,

ha estremo inferiore positivo e tale estremo inferiore coincide con la costante isoperimetrica, cioè risulta:

$"inf "F =4pi\quad$.

Inoltre la disuguaglianza (I) è in sharp form (in italiano non mi viene una buona traduzione... si potrebbe dire forma precisa, ma non è il massimo): ciò vul dire che in (I) vale in generale la disuguaglianza stretta epperò vale l'uguaglianza se e solo se $Gamma$ è una circonferenza (ciò segue dalla caratterizzazione del caso di uguaglianza nella disuguaglianza di Wirtinger, che trovi sul Dacorogna).

[stefystefy891]

grazie mille