Problema integrale , problema di fisica
Posto qui perchè penso ci sia più matematica che fisica in questa mia domanda:
Il problema mi diceva di calcolare l'espressione della velocità in funzione del tempo di un punto che si muove di moto rettilineo uniforme che al tempo t(o) ha una velocità v(o) > 0 e passa in questo istante per l'origine, la legge dell'accelerazione è
$a=-kv^2$
$(dv)/dt = -kv^2$ --> $(dv)/v^2 = - k dt$ integro membro a membro e viene $1/v = -kt$ --> $v=-1/kt + v(o)$ aggiungo poi la velocità iniziale per completare la legge
Il libro porta come procedimento il mio stesso integrale ma dà come risultato $v= (v(o))/(1+v(o)kt)$ e vorrei capire se è equivalente o meno , grazie
v(o) = v con zero , non sa fare l'indice
Il problema mi diceva di calcolare l'espressione della velocità in funzione del tempo di un punto che si muove di moto rettilineo uniforme che al tempo t(o) ha una velocità v(o) > 0 e passa in questo istante per l'origine, la legge dell'accelerazione è
$a=-kv^2$
$(dv)/dt = -kv^2$ --> $(dv)/v^2 = - k dt$ integro membro a membro e viene $1/v = -kt$ --> $v=-1/kt + v(o)$ aggiungo poi la velocità iniziale per completare la legge
Il libro porta come procedimento il mio stesso integrale ma dà come risultato $v= (v(o))/(1+v(o)kt)$ e vorrei capire se è equivalente o meno , grazie
v(o) = v con zero , non sa fare l'indice
Risposte
no, ovviamente le 2 soluzioni non sono equivalenti
hai fatto qualche errore
partiamo da
$\frac{dv}{v^2}=-kdt$
$ int_(v_0)^(v) \frac{dy}{y^2}= int_(0)^(t) -kdx $
una primitiva di $\frac{1}{y^2}$ è $\-frac{1}{y}$
quindi si ha
$\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}=-kt$
cioè
$\frac{1}{v}=\frac{1+v_okt}{v_0}$
e quindi
$v=\frac{v_0}{1+v_0kt}$
hai fatto qualche errore
partiamo da
$\frac{dv}{v^2}=-kdt$
$ int_(v_0)^(v) \frac{dy}{y^2}= int_(0)^(t) -kdx $
una primitiva di $\frac{1}{y^2}$ è $\-frac{1}{y}$
quindi si ha
$\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}=-kt$
cioè
$\frac{1}{v}=\frac{1+v_okt}{v_0}$
e quindi
$v=\frac{v_0}{1+v_0kt}$
aggiungo, per completezza che l'esercizio lo puoi svolgere anche tramite integrali indefiniti, come hai fatto tu, facendo però attenzione alla costante di integrazione.
l'integrale generale dell'equazione differenziale \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -kv^2 \) è:
attenzione! $+c$, non $+v_0$!!!!! Infatti la costante che devi aggiungere all'integrale non è sempre $v_0$, ma di volta in volta la dovrai determinare.
Ora sappiamo che la velocità all'istante zero vale $v_0$ (se ti dicessi che stiamo risolvendo un problema di Cauchy ti si accenderebbe qualche lampadina?), cioè, se nell'espressione trovata poniamo $t=0$, possiamo sostituire $v$ con $v_0$, ottenendo:
quindi la costante che devi aggiungere vale $- \frac{1}{v_0}$:
da qui, esplicitando la velocità, giungi alla soluzione del tuo libro.
PS. per fare il pedice è sufficiente digitare un underscore (trattino basso) tra la v e lo zero.
l'integrale generale dell'equazione differenziale \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -kv^2 \) è:
\(\displaystyle
- \frac{1}{v} = -kt + c
\)
- \frac{1}{v} = -kt + c
\)
attenzione! $+c$, non $+v_0$!!!!! Infatti la costante che devi aggiungere all'integrale non è sempre $v_0$, ma di volta in volta la dovrai determinare.
Ora sappiamo che la velocità all'istante zero vale $v_0$ (se ti dicessi che stiamo risolvendo un problema di Cauchy ti si accenderebbe qualche lampadina?), cioè, se nell'espressione trovata poniamo $t=0$, possiamo sostituire $v$ con $v_0$, ottenendo:
\(\displaystyle
- \frac{1}{v_0} = c
\)
- \frac{1}{v_0} = c
\)
quindi la costante che devi aggiungere vale $- \frac{1}{v_0}$:
\(\displaystyle
- \frac{1}{v} = -kt - \frac{1}{v_0}
\)
- \frac{1}{v} = -kt - \frac{1}{v_0}
\)
da qui, esplicitando la velocità, giungi alla soluzione del tuo libro.
PS. per fare il pedice è sufficiente digitare un underscore (trattino basso) tra la v e lo zero.
Grazie mille ragazzi siete stati chiari e precisi !
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