Problema integrale doppio

[luca19952]

Buongiorno a tutti, non riesco a risolvere quessto integrale doppio: $ int_Df(x,y)dxdy, D={(x,y)in R^2 : y,x>=0, x^2+y^2<=2}, f(x,y)=min(sqrt(x^2+y^2),1) $.
Io ho usato le coordinate polari e dato che $ f(x,y)=min(sqrt(x^2+y^2),1) $ ho messo $ ρ<=sqrt2/2, 0<=θ<=pi /2 $ , ma mi viene sbagliato.
Come dovrei fare? Il risultato è 5/12*π
Grazie mille

[Lo_zio_Tom]

certo che se scrivessi le formule con l'editor in dotazione sarebbe tutto più semplice....ora dobbiamo risolvere un sudoku per capire come siano i dati del problema

[Lo_zio_Tom]

"luca1995":Buongiorno a tutti, non riesco a risolvere quessto integrale doppio: $ int_Df(x,y)dxdy, D={(x,y)in R^2 : y,x>=0, x^2+y^2<=2}, f(x,y)=min(sqrt(x^2+y^2),1) $.
Io ho usato le coordinate polari e dato che $ f(x,y)=min(sqrt(x^2+y^2),1) $ ho messo $ ρ<=sqrt2/2, 0<=θ<=pi /2 $ , ma mi viene sbagliato.
Come dovrei fare? Il risultato è 5/12*π
Grazie mille

[luca19952]

scusa avevo sbagliato, al posto di schiacciare su inserisci formula avevo fatto invia, ora è corretto

[Lo_zio_Tom]

prima di tutto analizziamo la funzione:

essa è $sqrt(x^2+y^2)$ quando $sqrt(x^2+y^2)<1$, ovvero nella circonferenza centrata in $(0,0)$ di raggio 1. mentre vale 1 al di fuori di questa circonferenza ma all'interno della circonferenza di raggio $sqrt(2)$. Essendo $x,y>0$ ci interessa solo il quarto di circonferenza nel I Quadrante

[Lo_zio_Tom]

[Lo_zio_Tom]

quindi ti basterà spezzare l'integrale in due nel seguente modo:


$int_(0)^(1)int_(0)^(pi/2)rho^2 d rho d theta+int_(1)^(sqrt(2))int_(0)^(pi/2)rho d rho d theta$

[luca19952]

Grazie mille, gentilissimo

[Lo_zio_Tom]

in sostanza ottieni_

$int_(0)^(1)rho^2[int_(0)^(pi/2)d theta]d rho+int_(1)^(sqrt(2))rho[int_(0)^(pi/2)d theta]d rho=...=pi/6+pi/4=5/(12)pi$

[luca19952]

Sì sono riuscito a farlo! Ancora grazie