Problema integrale curvilineo
Calcolare integrale curvilieneo di funzione di variabile complessa:
\(\displaystyle \int_\gamma \frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)}\text{d} z\)
dove \(\displaystyle \gamma \) è la curva bordo dell'insieme \(\displaystyle T \) definito da \(\displaystyle T = \{ z = x+iy \in C : |y| \le 1, y-2\le x\le y+2 \} \), quello che non riesco a capire è perchè le singolarità + 5 e -5 non cadono nell'intervallo, inoltre se applico il teorema dei residui per risolvere l'integrale mi risulta \(\displaystyle \lim_ {z\to 1}(z-1)\frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)} = \frac{e}{-48} \) e \(\displaystyle \lim_ {z\to -1}(z+1)\frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)} = \frac{e^{-1}}{48} \), quindi per il teorema dei residui mi viene \(\displaystyle 2\pi i(\frac{e}{-48} + \frac{e^{-1}}{48}) \) non riesco a capire come il libro arrivi a scrivere che la soluzione è \(\displaystyle\frac{\pi}{12} \sin 1 \), sarei veramente grato a chi riuscisse a darmi una spiegazione con relativi passaggi perchè sono giorni che ci sbatto la testa senza alcun risultato, grazie mille per la disponibilità.
\(\displaystyle \int_\gamma \frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)}\text{d} z\)
dove \(\displaystyle \gamma \) è la curva bordo dell'insieme \(\displaystyle T \) definito da \(\displaystyle T = \{ z = x+iy \in C : |y| \le 1, y-2\le x\le y+2 \} \), quello che non riesco a capire è perchè le singolarità + 5 e -5 non cadono nell'intervallo, inoltre se applico il teorema dei residui per risolvere l'integrale mi risulta \(\displaystyle \lim_ {z\to 1}(z-1)\frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)} = \frac{e}{-48} \) e \(\displaystyle \lim_ {z\to -1}(z+1)\frac{e^z}{(z^2-25)(z^2-1)} = \frac{e^{-1}}{48} \), quindi per il teorema dei residui mi viene \(\displaystyle 2\pi i(\frac{e}{-48} + \frac{e^{-1}}{48}) \) non riesco a capire come il libro arrivi a scrivere che la soluzione è \(\displaystyle\frac{\pi}{12} \sin 1 \), sarei veramente grato a chi riuscisse a darmi una spiegazione con relativi passaggi perchè sono giorni che ci sbatto la testa senza alcun risultato, grazie mille per la disponibilità.
Risposte
per piacere qualcuno che mi dà un aiuto
Non è l'equivalenza $i sinh x = sin(ix)$ ?
Però il risultato dovrebbe essere $(\pi)/(12)sin(i)$
Poi $T$ è tutto racchiuso in un raggio di 5, per cui $(z^2-25)=0$ non sta in $T$
Però il risultato dovrebbe essere $(\pi)/(12)sin(i)$
Poi $T$ è tutto racchiuso in un raggio di 5, per cui $(z^2-25)=0$ non sta in $T$
In primis grazie mille per la risposta, ma non riesco comunque a capire da che cosa deduci che T è tutto racchiuso in un raggio di 5, inoltre non sò se hai visto qual'è il risultato che mi viene usando il teorema dei residui, vorrei sapere qual'è la relazione che lega quel risultato al sin e soprattutto come fai ad arrivare al tuo risultato, sempre che i miei calcoli siano giusti, grazie anticipatamente per la disponibilità
$|y|<1$ è una striscia di larghezza 2.
L'altra condizione determina una striscia inclinata.
Uno dei punti più lontani (si vede "ad occhio eh") è (3,1) che dista meno di 5 dall'origine.
L?altro discorso è che:
$2\pi i (e/(-48)+e^(-1)/(48))=-2\pi i ((e^1)/(48)-e^(-1)/(48))$
Siccome $sinh x=(e^x-e^(-x))/2$
$- 1/(12)\pi i sinh 1$
da cui l'equivalenza che ho mostrato sopra (forse a meno di un segno sbagliato...)
L'altra condizione determina una striscia inclinata.
Uno dei punti più lontani (si vede "ad occhio eh") è (3,1) che dista meno di 5 dall'origine.
L?altro discorso è che:
$2\pi i (e/(-48)+e^(-1)/(48))=-2\pi i ((e^1)/(48)-e^(-1)/(48))$
Siccome $sinh x=(e^x-e^(-x))/2$
$- 1/(12)\pi i sinh 1$
da cui l'equivalenza che ho mostrato sopra (forse a meno di un segno sbagliato...)
Ti ringrazio veramente tantissimo, sei stato di grande aiuto, grazie ancora.
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