Problema integrale

[parme1]

ciao a tutti! mi hanno dato da fare il seguente integrale
:
"data la seguente funzione $f(x)=1/(|e^x-e|-7*e^(-x))$
definita su $-oo (1)calcolare l'integrale indefinito
(2)determinare la primitiva di ƒ $F(x):[0,1]->R$ tale che $F(1)=0$
ora io quando faccio l'integrale indefinito tengo in considerazione del fatto che f(x) è definita per $x<=1$ quindi tolgo il modulo e
ottengo
$\int_{1}^{x} 1/(e-e^(2x)-7(e^(-x))) dx$
giusto? oppure tolgo semplicemente il modulo senza mettere gli estremi?
per poi il discorso della funzione primitiva e il suo valore,
posso scrivere $\int_{1}^{x} f(x) dx + c $ e ponendo x=1,
c=0? grazie!

[_nicola de rosa]

"parme":ciao a tutti! mi hanno dato da fare il seguente integrale
:
"data la seguente funzione $f(x)=1/(|e^x-e|-7*e^(-x))$
definita su $-oo (1)calcolare l'integrale indefinito
(2)determinare la primitiva di ƒ $F(x):[0,1]->R$ tale che $F(1)=0$
ora io quando faccio l'integrale indefinito tengo in considerazione del fatto che f(x) è definita per $x<=1$ quindi tolgo il modulo e
ottengo
$\int_{1}^{x} 1/(e-e^(2x)-7(e^(-x))) dx$
giusto? oppure tolgo semplicemente il modulo senza mettere gli estremi?
per poi il discorso della funzione primitiva e il suo valore,
posso scrivere $\int_{1}^{x} f(x) dx + c $ e ponendo x=1,
c=0? grazie!

1) Per $x<=1$ si ha $|e^x-e|=e-e^x$ e l'integrale diventa
$int1/(e-e^x-7*e^(-x))dx=int(e^x)/(e*e^x-e^(2x)-7)dx$
Ponendo $e^x=t->de^x=e^x*dx=dt$ si ha
$int(e^x)/(e*e^x-e^(2x)-7)dx=int1/(e*t-t^2-7)dt$

Ora $t^2-et+7=t^2-et+e^2/4-(e^2)/4+7=(t-e/2)^2+(7-e^2/4)=(7-e^2/4)*{[(t-e/2)/(sqrt(7-e^2/4))]^2+1}$

per cui $int1/(e*t-t^2-7)dt=-1/(sqrt(7-e^2/4))*int1/([(t-e/2)/(sqrt(7-e^2/4))]^2+1)dt=-1/(sqrt(7-e^2/4))*arctg((t-e/2)/(sqrt(7-e^2/4)))+c=-2/(sqrt(28-e^2))*arctg((2t-e)/(sqrt(28-e^2)))+c=2/(sqrt(28-e^2))*arctg((e-2t)/(sqrt(28-e^2)))+c$

Quindi $int1/(e-e^(2x)-7(e^(-x))) dx=2/(sqrt(28-e^2))*arctg((e-2e^x)/(sqrt(28-e^2)))+c$

[parme1]

ok! il mio intgrale coincide! quindi ora basta sostituire il valore $x=1$ e ottenere c,giusto?
ma se invece ƒ fosse definita in un intervallo e il modulo cambiasse all'interno di questo
i.e:
$int sqrt(x+1)/(|1-x|+2)$ con ƒ definita su $x>=-1$? e dovessi trovare $F(1)=0$ ?

[_nicola de rosa]

"parme":ok! il mio intgrale coincide! quindi ora basta sostituire il valore $x=1$ e ottenere c,giusto?
ma se invece ƒ fosse definita in un intervallo e il modulo cambiasse all'interno di questo
i.e:
$int sqrt(x+1)/(|1-x|+2)$ con ƒ definita su $x>=-1$? e dovessi trovare $F(1)=0$ ?

Nell'intervallo $[-1,1]$ consideri $|1-x|=1-x$ mentre in $(1,+infty)$ consideri $|1-x|=x-1$ per cui indicata con $g(x)=int_-1^1f(x)dx$ e con $h(x)=int_1^(+infty)f(x)dx$ avrai $F(x)=g(x)*Pi[x/2]+h(x)*u(x-1)+c$

[parme1]

ok! ma che cos'è$u(x-1)$ e $Pi[x/2]$ ?

[_nicola de rosa]

"parme":ok! ma che cos'è$u(x-1)$ e $Pi[x/2]$ ?

$u(x-a)={(1,,x>=a),(0,,x $Pi[(x-a)/b]={(1,,|x-a|<=b/2),(0,,|x-a|>b/2):}$

[parme1]

ok! grazie! tanto epr curiosità, come vengono chimate le ultime due funzioni citate? la prima mi pare che fosse parte positiva, ma la seconda?

[_nicola de rosa]

"parme":ok! grazie! tanto epr curiosità, come vengono chimate le ultime due funzioni citate? la prima mi pare che fosse parte positiva, ma la seconda?

La funzione $u(x-a)$ è la funzione "gradino", mentre la funzione $Pi[(x-a)/b]$ è la funzione "porta rettangolare" o funzione "rect". Le denominazioni derivano dai loro grafici che si ricavano immediatamente dalla definizione stessa