Problema integrale
Buonasera ho un problema con la risoluzione a più infinito di questo integrale... $int_{1}^{+infty} (sent)/t dt$.. io direi che converge perché il seno è compreso tra -1 e 1 e quindi si può portare fuori dall'integrale e non inflenza la t a denominatore.. che dite? Grazie come sempre!:)
Risposte
Ciao Appinmate, ciò che dici riguardo a $\sint$ è vero; attenzione però alla stima che fai: a che stima ti porta?
(Attenzione anche a come lo dici, se stimi il $\sin t$ con $1$ esso non è più presente nella funzione integranda e dunque che significa portare fuori in quel caso?
)
(Attenzione anche a come lo dici, se stimi il $\sin t$ con $1$ esso non è più presente nella funzione integranda e dunque che significa portare fuori in quel caso?
)
Integra per parti...
"Mephlip":
Ciao Appinmate, ciò che dici riguardo a $\sint$ è vero; attenzione però alla stima che fai: a che stima ti porta?
(Attenzione anche a come lo dici, se stimi il $\sin t$ con $1$ esso non è più presente nella funzione integranda e dunque che significa portare fuori in quel caso?
Significa che diverge?
scusa ma non credo di avere capito..
Tu dici che
$$\left| \int_1^{+\infty} \frac {\sin x} {x} dx \right| \leq \int_1^{+\infty} \frac {1} {x} dx $$
e ci troviamo. Tuttavia l'ultimo integrale diverge, per cui non puoi usare l'assoluta convergenza: non puoi dire nulla sull'integrale di partenza.
Potresti costruire qualcosa partendo dall'integrale $$\int_{\color{red}{0}}^{+\infty} \frac {\sin x} {x} dx $$
che converge (a quanto?), magari sfruttando la decrescenza dell'integranda.
$$\left| \int_1^{+\infty} \frac {\sin x} {x} dx \right| \leq \int_1^{+\infty} \frac {1} {x} dx $$
e ci troviamo. Tuttavia l'ultimo integrale diverge, per cui non puoi usare l'assoluta convergenza: non puoi dire nulla sull'integrale di partenza.
Potresti costruire qualcosa partendo dall'integrale $$\int_{\color{red}{0}}^{+\infty} \frac {\sin x} {x} dx $$
che converge (a quanto?), magari sfruttando la decrescenza dell'integranda.
Per dimostrare che converge conviene integrare per parti
$\int \frac{\sin(t)}{t}dt=-\frac{\cos(t)}{t}-\int \frac{\cos(t)}{t^2}dt$
Prendendo come estremi di integrazione $1$ e $+\infty$ otteniamo
$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt=\cos(1)-\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt$
Ora basta dimostrare che $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt$ converge, infatti siccome $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ allora per ogni $N$ naturale vale
$-\int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt$
Passando al limite $N \rightarrow +\infty$ le disuguaglianze continuano a valere per un noto teorema delle successioni quindi segue che
$-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt$
Da qui la convergenza...
$\int \frac{\sin(t)}{t}dt=-\frac{\cos(t)}{t}-\int \frac{\cos(t)}{t^2}dt$
Prendendo come estremi di integrazione $1$ e $+\infty$ otteniamo
$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt=\cos(1)-\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt$
Ora basta dimostrare che $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt$ converge, infatti siccome $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ allora per ogni $N$ naturale vale
$-\int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt$
Passando al limite $N \rightarrow +\infty$ le disuguaglianze continuano a valere per un noto teorema delle successioni quindi segue che
$-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt$
Da qui la convergenza...
Capito! Grazie mille per gli aiuti!
"Appinmate":
Significa che diverge?
Per applicare il teorema del confronto (dopo aver verificato che le ipotesi valgono) bisogna trovare una stima dall'alto che converga per dimostrare la convergenza (o una stima dal basso che diverga, per dimostrare la divergenza); perciò, nel nostro caso, la stima dall'alto diverge e nulla si può dire! Perciò occhio al "verso" delle stime
Per quanto riguarda la risoluzione ti hanno risposto egregiamente gli altri
Grazie mille a tutti per la gentilezza e l'aiuto!:)
La risposta di dan è corretta ma mi permetto di bacchettare un po'.
Qui sopra sei super formale, bastava dire che \(\cos t/ t^2\) è assolutamente convergente, e poi...
...qui scrivi \(\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\, dt\), ma non hai ancora dimostrato che l'integrale converge (e in che senso converge? siccome non è assolutamente convergente, la cosa è delicata).
A mio avviso, per fare le cose proprio super bene bisogna considerare sempre e solo l'integrale \(\int_0^ x \frac{\sin t}{t}\, dt\) e solo alla fine passare al limite per \(x\to \infty\). In questo modo è chiaro in che senso l'integrale è convergente.
[...]per ogni $N$ naturale vale
$-\int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{N} \frac{1}{t^2}dt$
Passando al limite $N \rightarrow +\infty$ le disuguaglianze continuano a valere per un noto teorema delle successioni quindi segue che
$-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt \leq \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt$
Da qui la convergenza...
Qui sopra sei super formale, bastava dire che \(\cos t/ t^2\) è assolutamente convergente, e poi...
"dan95":
$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt=\cos(1)-\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}dt$
...qui scrivi \(\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\, dt\), ma non hai ancora dimostrato che l'integrale converge (e in che senso converge? siccome non è assolutamente convergente, la cosa è delicata).
A mio avviso, per fare le cose proprio super bene bisogna considerare sempre e solo l'integrale \(\int_0^ x \frac{\sin t}{t}\, dt\) e solo alla fine passare al limite per \(x\to \infty\). In questo modo è chiaro in che senso l'integrale è convergente.
No scusa Dissonance ma non ho capito la tua risposta. 
Quindi come ha fatto Dan95 per dimostrare la convergenza non va bene?
Quindi come ha fatto Dan95 per dimostrare la convergenza non va bene?
No scusa ho letto adesso che hai detto che è giusta.. non ho però capito quello che hai detto tu...
Ma niente, sono dettagli. Il concetto della risposta di dan è correttissimo.
Ok, grazie mille ancora per l'aiuto!
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