Problema in una funzione differenziale
Ciao a tutti 
Ho il problema di Cauchy
\(\displaystyle \begin{cases} y''(x)+2y'(x)+y(x)=x|x| \\
y(0)=y'(0)=0 \end{cases}\)
e mi viene chiesto quante volte sia derivabile la soluzione del problema in tutto \(\displaystyle \mathbf{R} \) senza calcolarla effettivamente.
Non so se il mio ragionamento è corretto.
Tenendo conto che sicuramente la soluzione dell'equazione omogenea associata esiste per qualunque $x$ ed è combinazione di costanti ed esponenziali (e di funzioni trigonometriche, se il discriminante fosse negativo), altrettanto sicuramente la sua soluzione è derivabile in tutto \(\displaystyle \mathbf{R} \) infinite volte.
Il problema allora sarebbe solo di controllare la soluzione particolare. Il punto è: come faccio a controllarla se non posso calcolarla?
Ho il problema di Cauchy
\(\displaystyle \begin{cases} y''(x)+2y'(x)+y(x)=x|x| \\
y(0)=y'(0)=0 \end{cases}\)
e mi viene chiesto quante volte sia derivabile la soluzione del problema in tutto \(\displaystyle \mathbf{R} \) senza calcolarla effettivamente.
Non so se il mio ragionamento è corretto.
Tenendo conto che sicuramente la soluzione dell'equazione omogenea associata esiste per qualunque $x$ ed è combinazione di costanti ed esponenziali (e di funzioni trigonometriche, se il discriminante fosse negativo), altrettanto sicuramente la sua soluzione è derivabile in tutto \(\displaystyle \mathbf{R} \) infinite volte.
Il problema allora sarebbe solo di controllare la soluzione particolare. Il punto è: come faccio a controllarla se non posso calcolarla?
Risposte
In generale, vale il seguente teorema di regolarità: considera il problema
\[
\begin{cases}
y'=f(t,y) \\
y(t_0)=\xi_0
\end{cases}
\]
con $f: \Omega \subset \mathbb R \times \mathbb R^{n} \to \mathbb R^{n}$) e sia $u : I_{max} \to \mathbb R^{n}$ una soluzione. Se $f \in C^{k}(\Omega)$ allora $u \in C^{k+1}(I)$.
La dimostrazione è piuttosto semplice e si fa per induzione.
A questo punto, la domanda è: come usare questa proprietà per il tuo esercizio? Semplice: scrivi la tua equazione differenziale come sistema del primo ordine in $\mathbb R^{2}$ e identifica $f$ e $\Omega$. Quindi, studia la regolarità della funzione $f$ (poni particolare attenzione alla presenza del valore assoluto... e tieni presente è moltiplicato per $x$!) e concludi.
Più chiaro?
P.S. Il titolo non ha granché senso... Riesci a trovarne uno migliore? Grazie.
\[
\begin{cases}
y'=f(t,y) \\
y(t_0)=\xi_0
\end{cases}
\]
con $f: \Omega \subset \mathbb R \times \mathbb R^{n} \to \mathbb R^{n}$) e sia $u : I_{max} \to \mathbb R^{n}$ una soluzione. Se $f \in C^{k}(\Omega)$ allora $u \in C^{k+1}(I)$.
La dimostrazione è piuttosto semplice e si fa per induzione.
A questo punto, la domanda è: come usare questa proprietà per il tuo esercizio? Semplice: scrivi la tua equazione differenziale come sistema del primo ordine in $\mathbb R^{2}$ e identifica $f$ e $\Omega$. Quindi, studia la regolarità della funzione $f$ (poni particolare attenzione alla presenza del valore assoluto... e tieni presente è moltiplicato per $x$!) e concludi.
Più chiaro?
P.S. Il titolo non ha granché senso... Riesci a trovarne uno migliore? Grazie.
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